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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+1$.
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- Montrer que $f$ est dérivable en $x_0=1$ et donner la valeur de $f'(2)$.
Taux d'accroissement d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ et $b$ deux réels distincts appartenant à $D_f$.
Le taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Si on pose $b=a+h$, $h$ réel ( $a+h\in D_f$ et $h\neq 0$ puisque $b\neq a$), on a alors $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
$k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
Calculer $T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$
Vérifier que la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclureCalcul du taux d'accroissement de $f$ entre 1 et $1+h$ pour tout réel $h\neq 0$:
$T_{h}=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$
$T_{h}=\dfrac{(1+h)^2-3(1+h)+1-(1^2-3+1)}{1+h-1}$
$T_{h}=\dfrac{1+2h+h^2-3-3h+1+1}{h}$
$T_{h}=\dfrac{h^2-h}{h}$
$T_{h}=\dfrac{h(h-1)}{h}$
$T_{h}=h-1$ Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow -1$
On peut noter aussi (avec la notation des limites):
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }h-1=-1$
La courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente de coefficient directeur $f'(1)=-1$ au point de la courbe de coordonnées $(1;f(1))$ soit au point $(1;-1)$
Contrôle avec CASIO:
Avec la calculatrice, utiliser le menu TABLE, saisir la fonction $f$ dans Y1 puis afficher le tableau de valeurs de $f$ et de $f'$.\textit{(voir aussi fiche méthode CALCULATRICE: tableau de valeurs de la dérivée)}
On obtient effectivement le résultat $f'(1)=-1$ - Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et donner l'expression de $f'(x)$ pour tout réel $x$.
Calculer $T_{h}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$ pour tout réel $h\neq 0$
Vérifier que pour tout réel $x$, la limite de de $T_{h}$ existe quand $h\longrightarrow 0$ et conclureCalcul du taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $x+h$ pour tout réel $x$ et $h\neq 0$:
$T_{h}=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Calcul de $f(x+h)$: $f(x+h)=(x+h)^2-3(x+h)+1=x^2+2hx+h^2-3x-3h+1$
$T_{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-3x-3h+1-(x^2-3x+1)}{1+h-1}$
$T_{h}=\dfrac{x^2+2hx+h^2-3x-3h+1-x^2+3x-1)}{h}$
$T_{h}=\dfrac{2hx+h^2-3h)}{h}$
$T_{h}=\dfrac{h(2x+h-3)}{h}$
$T_{h}=2x+h-3$
Quand $h \longrightarrow 0$ on a $T_{h} \longrightarrow 2x-3$
On peut noter aussi (avec la notation des limites):
$\displaystyle \lim_{ h \rightarrow 0 }2x+h-3=2x-3$
La fonction qui a $x$ associe son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$
La fonction notée $f'$ est la fonction qui a tout réel $x$ de $\mathbb{R}$ associe son nombre dérivé $2x-3$.
$f'(x)=2x-3$
On retrouve aussi le résultat de la question 1 en prenant $x=1$:
$f'(1)=2\times 1-3=-1$
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