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Un boîte de conserve a la forme d'un cylindre de rayon $R$ et hauteur $h$ en centimètres et a une capacité de 1 litre. On veut déterminer les dimensions de la boîte pour que la quantité de métal utilisé soit la plus faible possible.
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- Exprimer le volume de la boîte en fonction de $h$ et $R$ puis $h$ en fonction de $R$.
Rappel: le volume d'un cylindre de rayon R et hauteur h est donné par $V=$aire de la base $\times$ hauteur$=\pi R^2 h$Si on note V le volume de la boîte en cm$^3$, on a:
$V=\pi R^2 h$
La boîte doit avoir une contenance de 1 litre soit 1 dm$^3=$1000 cm$^3$
$V=\pi R^2 h=1000 \Longleftrightarrow h=\dfrac{1000}{ \pi R^2}$
- Exprimer l'aire totale de cette boîte en fonction de $h$ et de $R$ puis en fonction de $R$.
Le cylindre est composé de deux disques de rayon R (fonc et couvercle de la boîte) et d'une face latérale dont l'aire est celle d'une rectangle de largeur h et de longueur le périmètre du disque correspondant au couvercle (ou au fond)Si on note A l'aire totale de la boîte cylindrique:
Aire de chacun des disques: $\pi R^2$
Aire latérale: $h\times 2\pi R=2\pi Rh$
$A=2 \pi R^2+2\pi Rh$
D'après la question 1, on a $h=\dfrac{1000}{\pi R^2}$
donc en remplaçant dans $A$, on obtient:
$A=2 \pi R^2+2\pi R\times \dfrac{1000}{\pi R^2}$
$A=2 \pi R^2+ \dfrac{2000 \pi R}{\pi R^2}$
$A=2 \pi R^2+ \dfrac{2000 }{R}$
- On note $A$ la fonction qui a R associe l'aire totale de la boîte.
Calculer $A'(R)$ (dérivée de la fonction $A$ en fonction de R)Dérivées usuelles
Soit la fonction $A(R)=2 \pi R^2+ \dfrac{2000 }{R}$ définie sur $]0;+\infty[$ donnant l'aire totale de la boîte en fonction de $R$.
$A'(R)=4\pi R+2000\times \dfrac{-1}{R^2}$
$A'(R)=4\pi R-\dfrac{2000}{R^2}$
- On pose $g(x)=4\pi x^3-2000$ définie pour $x>0$
Etudier les variations de $g$.
Avec la calculatrice, déterminer la valeur arrondie aux dixièmes de la (des) solution(s) de l'équation $g(x)=0$ et en déduire le signe de $A'(R)$ puis les dimensions de la boîte arrondies si nécessaire au millimètre près.Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Calculer $g'(x)$ et étudier son signe
Dresser le tableau de variation de $g$
Avec le MENU TABLE de la calculatrice, donner un encadrement de la solution de l'équation $g(x)=0$
Le signe de $g(x)$ permet d'obtenir le signe de $A'(R)$ donc les variations de $A$$g$ est une fonction polynôme de degré 3 donc dérivable sur $]0;+\infty[$
$g'(x)=12\pi x^2$
donc $g$ est strictement croissante et l'équation $g(x)=0$ admet une seule solution que l'on notera $\alpha$ puisque $g(0)=-2000$ et $g(10)>0$
Avec le menu TABLE de la calculatrice, en prenant X-START:0, X-END:10 et PITCH:1, on obtient un encadrement de la solution d'amplitude une unité soit $ 5<\alpha<6 $ (voir image ci-dessous)
On sait que $ 5 <\alpha <6 $ donc en modifiant les paramètres du tableau de valeurs: X-START: 5 , X-END:6 et PITCH:0,1, on obtient:
$ 5,4 <\alpha< 5,5 $ (voir image ci-dessous)
On sait que $ 5,5<\alpha < 5,6 $ donc en modifiant les paramètres du tableau de valeurs: X-START: , X-END: et PITCH:0,01, on obtient:
$ 5,41 <\alpha< 5,42 $ (voir image ci-dessous)
soit $\alpha \simeq 5,4$ en arrondissant aux dixièmes.
On a alors le tableau suivant:
$A'(R)=\dfrac{4\pi R^3-2000}{R^2}$
$R^2>0$ donc $A'(R)$ est du signe du numérateur $4\pi R^3-2000=g(R)$
En utilisant le tableau de signe de $g(x)$, on a donc:
donc $A$ admet un minimum pour $R=\alpha \simeq 5,4 $ cm
et on a alors $h=\dfrac{1000}{\pi \alpha^2}\simeq 10,9$ cm
Vérification: Avec ces valeurs, $V=\pi\times 5,4^2\times 10,9\simeq 998,5 $ cm$^3$
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