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La fonction $f$ est définie sur $[-1;7]$ par $f(x)=x^2-6x+3$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique $C_f$ dans un repère orthogonal.
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- Calculer l'image de 2 par $f$ puis contrôler sur le graphique le résultat obtenu.
Calcul d'une image
Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
$f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
$\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
$\phantom{f(-2)}=-19$
Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
Il faut remplacer $x$ par $2$ dans l'expression de $f$ pour calculer $f(2)$.
Graphiquement, on cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 2$f(2)=2^2-6\times 2+3=4-12+3=-5$
Graphiquement, on a bien $f(2)=-5$ (voir graphique ci-dessous)
- Calculer l'image de $1+\sqrt{2}$ par $f$.
On donnera la valeur exacte sous la forme $a+b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ réels puis la valeur arrondie aux dixièmes.On remplace $x$ par $1+\sqrt{2}$ dans l'expression de $f$
développer avec les identités remarquables$f(1+\sqrt{2})=(1+\sqrt{2})^2-6(1+\sqrt{2})+3$
$\phantom{f(1+\sqrt{2})}=1+2\sqrt{2}+2-6-6\sqrt{2}+3$
$\phantom{f(1+\sqrt{2})}=0-4\sqrt{2}$ (soit $a=0$ et $b=-4$)
Graphiquement, on a $1+\sqrt{2}\approx 2,4$ et $f(1+\sqrt{2})\approx -5,7$
Penser à contrôler le calcul avec la calculatrice et le MENU TABLE
MENU TABLE puis saisir dans Y1 l'expression de $f$.
Dans TABLE (touche F6) placer le curseur sur la colonne $x$ et saisir $1+\sqrt{2}$, on doit avoir pour image $-5,7$ environ dans colonne Y1. - Vérifier que $5$ est un antécédent de $-2$ par $f$ puis contrôler le résultat sur le graphique.
Il faut vérifier que l'image de 5 par $f$ est bien $-2$ soit $f(5)=-2$Si $5$ est un antécédent de $-2$ par $f$ alors l'image de $5$ par $f$ est $-2$ soit $f(5)=-2$.
$f(5)=5^2-6\times 5+3=25-30+3=-2$
Graphiquement, on vérifie qu'il y a bien un point de la courbe d'ordonnée $-2$ dont l'abscisse est 5.
Cela signifie que $5$ est un antécédent de $-2$ par $f$ mais il peut y avoir d'autres antécédents de $-2$ par $f$
Penser à contrôler le résultat avec le MENU TABLE en saisissant 5 dans la colonne $x$ et on doit avoir Y1=$-2$ (voir question précédente pour le contrôle avec la calculatrice). - Déterminer graphiquement tous les antécédents de $-2$ par $f$.
- Déterminer les antécédents de 3 par $f$ puis contrôler le résultat
graphiquement.
Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$ (se ramener à un produit de facteurs nul)$f(x)=3 \Longleftrightarrow x^2-6x+3=3$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x^2-6x+3-3=0$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x^2-6x=0$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x(x-6)=0$
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x-6=0$ (un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul)
$\phantom{f(x)=3}\Longleftrightarrow x=0$ ou $x=6$
Graphiquement, on cherche les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est 3.
Comme pour les questions précédentes, penser à contrôler dans le MENU TABLE en saisissant $x=0$ puis $x=6$ dans la colonne $X$ que Y1=3.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Déterminer graphiquement ou par le calcul images et antécédents
- déterminer l'image ou les antécédents d'un nombre à partir du graphique (courbe donnée)
- déterminer l'image ou les antécédents d'un nombre par le calcul (fonction donnée)
infos: | 10mn |
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