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On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+mx^2+2x+1$ où $m$ est un réel.
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- Calculer $f'(x)$.
Dérivées usuelles
$f'(x)=3x^2+m\times 2x+ 2+0=3x^2+2mx+2$
- En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles l'équation $f(x)=0$ admet au maximum une solution?
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Pour que l'équation $f(x)=0$ admette une seule solution si la fonction $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante.
Il faut étudier le signe de $f'(x)$.$f(x)=0$ admet une seule solution si $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante.
Le signe de la dérivée doit donc être constant (soit toujours négatif, soit toujours positif).
$f'(x)$ est un polynôme du second degré et est de signe constant, du signe de $a=3$ coefficient de $x^2$, si le polynôme $3x^2+2mx+2$ n'admet aucune racine ou bien une seule racine.
$\Delta=b^2-4ac=(2m)^2-4\times 3\times 2=4m^2-24$
Il faut $\Delta\leq 0$ soit $4m^2+24\leq 0$
Recherche des racines de $4m^2-24$
$4m^2-24=0 \Longleftrightarrow m^2=6 \Longleftrightarrow m=\sqrt{6}$ ou $m=-\sqrt{6}$
$4m^2-24$ est du signe du coefficient de $m^2$ à "l'extérieur" des racines.
donc $\Delta \leq 0$ pour $m\in [-\sqrt{6};\sqrt{6}]$
On a alors $f$ strictement croissante et l'équation $f(x)=0$ admet alors au maximum une solution (la courbe représentative de $f$ coupe alors l'axe des abscisses au maximum une fois)
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