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- Placer les points correspondants aux réels $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$ et rappeler la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
Valeurs remarquables du cos et du sin
il faut placer $\dfrac{\pi}{3}$ et effectuer des symétries par rapport aux axes d du repère$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{4\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}$
et $\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}$
On a $cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}$
et $sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ - Simplifier l'expression $cos(0)+cos(\dfrac{\pi}{3})+cos(\dfrac{2\pi}{3})+cos(\dfrac{3\pi}{3})+cos(\dfrac{4\pi}{3})+cos(\dfrac{5\pi}{3})$
Angles associés
$\dfrac{2\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{4\pi}{3}=\pi+\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}$
$cos(0)+cos(\dfrac{\pi}{3})+cos(\dfrac{2\pi}{3})+cos(\dfrac{3\pi}{3})+cos(\dfrac{4\pi}{3})+cos(\dfrac{5\pi}{3})$
$=1+cos(\dfrac{\pi}{3})+cos(\pi-\dfrac{\pi}{3})+cos(\pi)+cos(\pi+\dfrac{\pi}{3})+cos(\dfrac{-\pi}{3})$
$=1+cos(\dfrac{\pi}{3})-cos(\dfrac{\pi}{3})-1-cos(\dfrac{\pi}{3})+cos(\dfrac{\pi}{3})$
$=0$
- Simplifier l'expression $sin(0)+sin(\dfrac{\pi}{3})+sin(\dfrac{2\pi}{3})+sin(\dfrac{3\pi}{3})+sin(\dfrac{4\pi}{3})+sin(\dfrac{5\pi}{3})$
$sin(0)+sin(\dfrac{\pi}{3})+sin(\dfrac{2\pi}{3})+sin(\dfrac{3\pi}{3})+sin(\dfrac{4\pi}{3})+sin(\dfrac{5\pi}{3})$
$=0+sin(\dfrac{\pi}{3})+sin(\pi-\dfrac{\pi}{3})+sin(\pi)+sin(\pi+\dfrac{\pi}{3})+sin(\dfrac{-\pi}{3})$
$=0+sin(\dfrac{\pi}{3})+sin(\dfrac{\pi}{3})+0-sin(\dfrac{\pi}{3})-sin(\dfrac{\pi}{3})$
$=0$
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