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On donne $cos(\dfrac{2\pi}{5})=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$
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- En déduire $sin(\dfrac{2\pi}{5})$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On utilise $cos^2(x)+sin^2(x)=1$
$x \in [0;\pi[$$cos^2(\dfrac{2\pi}{5})+sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=1$
$\Longleftrightarrow \left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right) ^2+sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=1$
$\Longleftrightarrow sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=1-\left( \dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right) ^2$
$\Longleftrightarrow sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=1- \dfrac{5-2\sqrt{5}+1}{16}$
$\Longleftrightarrow sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=\dfrac{16-5+2\sqrt{5}-1}{16}$
$\Longleftrightarrow sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=\dfrac{10+2\sqrt{5}}{16}$
$\Longleftrightarrow sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=\dfrac{2(5+\sqrt{5})}{2\times 8}$
$\Longleftrightarrow sin^2(\dfrac{2\pi}{5})=\dfrac{5+\sqrt{5}}{ 8}$
$sin(\dfrac{2\pi}{5})>0$
Penser à vérifier le résultat avec la calculatrice (attention à régler les unités d'angles en radians )
$sin(\dfrac{2\pi}{5})\approx 0,95$ et $\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{ 8}}\approx 0,95$ - Calculer $cos(\dfrac{7\pi}{5})$
Angles associés
$\dfrac{7\pi}{5}=\pi+\dfrac{2\pi}{5}$$\pi+\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{5\pi}{5}+\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{7\pi}{5}$
$cos(\dfrac{7\pi}{5})=cos(\pi+\dfrac{2\pi}{5})=-cos(\dfrac{2\pi}{5})=-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}=\dfrac{-\sqrt{5}+1}{4}$
$cos(\dfrac{7\pi}{5})\approx -0,31$ et $\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,31$ - Déterminer ensuite $cos(\dfrac{\pi}{10})$
$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{5\pi}{10}-\dfrac{4\pi}{10}=\dfrac{\pi}{10}$$\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{5\pi}{10}-\dfrac{4\pi}{10}=\dfrac{\pi}{10}$
$cos(\dfrac{\pi}{10})=cos(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{2\pi}{5})=sin(\dfrac{2\pi}{5})=\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{ 8}}$
Penser à vérifier le résultat avec la calculatrice (attention à régler les unités d'angles en radians)
$cos(\dfrac{\pi}{10})\approx 0,95$ et $\sqrt{\dfrac{5+\sqrt{5}}{ 8}}\approx 0,95$
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