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$ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs orthogonaux tels que $|| \overrightarrow{u}||=|| \overrightarrow{v}||=5$
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- Calculer $|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2$
Carré scalaire
$\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$Propriétés du produit scalaire
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
$(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$
$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Développer $|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2=( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$
Utiliser ensuite l'orthogonalité des vecteurs $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$$ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow {v}$ sont deux vecteurs orthogonaux
donc $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=0$
$|| \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}||^2$
$= ( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$
$=( \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$
$= \overrightarrow{u}^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}^2$
$= \overrightarrow{u}^2+ \overrightarrow{v}^2$
$=5^2+5^2$
$=50$
- Calculer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}-2 \overrightarrow{v})$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Développer l'expression et utiliser les données de l'énoncé notamment l'orthogonalité des deux vecteurs$( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}).( \overrightarrow{u}-2 \overrightarrow{v})$
$= \overrightarrow{u}. \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v}. \overrightarrow{u}- \overrightarrow{u}.(2 \overrightarrow{v})- \overrightarrow{v}.(2 \overrightarrow{v})$
$=|| \overrightarrow{u}||^2+ \overrightarrow{v}. \overrightarrow{u}-2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{v}. \overrightarrow{v}$
$=|| \overrightarrow{u}||^2+ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2|| \overrightarrow{v}||^2$
$=5^2+0+0-2\times 5^2$
$=-25$
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