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$ABC$ est un triangle et on note $a=BC$, $b=AC$ et $c=AB$.
  1. Calculer $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ puis exprimer $a^2$ en fonction de $b^2$, $c^2$ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

    Carré scalaire


    $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$

    Propriétés du produit scalaire


    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$
    $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}$
    $a^2=\overrightarrow{BC}^2$
    $~~~=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2$
    $~~~=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$
    $~~~=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}^2$
    $~~~=b^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+c^2$
  2. En utilisant la définition du produit scalaire, en déduire que $a^2=b^2+c^2-2bccos(\widehat{BAC})$.

    Produit scalaire (définition)


    $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})=c\times b\times cos(\widehat{BAC})$

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