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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, déterminer dans chaque cas une équation cartésienne de la droite (AB)
  1. $A(1;2)$ et $B(-1;3)$

    Déterminer une équation cartésienne


    Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
    Méthode 1
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    - $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$

    Méthode 2
    - calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
    - Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
    - $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)
    $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$
    $M(x;y)\in (AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-1-1=-2 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-2=1 \\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AB}(-2;1)$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    donc $a=1$ et $b=2$.
    Une équation cartésienne de $(AB)$ est de la forme $x+2y+c=0$
    $A\in (AB)\Longleftrightarrow x_A+2y_A+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow 1+4+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow c=-5$


    Il existe une infinité d'équations cartésiennes pour une même droite.
    Par exemple $-x-2y+5=0\Longleftrightarrow x+2y-5=0\Longleftrightarrow 2x+4y-10=0$ sont deux autres équations cartésiennes possibles de (d).
    On peut utiliser également GEOGEBRA pour contrôler le résultat car une équation de la droite tracée est affichée dans la fenêtre algèbre
    On peut aussi vérifier avec la calculatrice que les coordonnées des deux point de l'énoncé vérifie l'équation de droite obtenue.

    Autre méthode: avec le critère de colinéarité:
    Soit $M(x;y)$ un point de la droite $(AB)$.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1 \\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-2 \\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)$
    $M\in (AB)$
    $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ colinéaires
    $\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AM}}- y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AM}}=0$
    $\Longleftrightarrow -2(y-2)-1(x-1)=0$
    $\Longleftrightarrow -2y+4-x+1=0$
    $\Longleftrightarrow -x-2y+5=0$
  2. $A(-1;3)$ et $B(-2;-1)$
    $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-(-1)=-1 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-(-1)=4\\ \end{cases}$
    $\overrightarrow{AB}(-1;4)$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(AB)$
    donc $a=4$ et $b=1$.
    Une équation cartésienne de $(AB)$ est de la forme $4x+y+c=0$
    $A\in (AB)\Longleftrightarrow 4x_A+y_A+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow -4+3+c=0$
    $~~~~~~~\Longleftrightarrow c=1$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Équation cartésienne d'une droite

- rappels de seconde
- déterminer un vecteur directeur
- tracer une droite
- déterminer une équation cartésienne


infos: | 15mn |

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