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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chaque cas, déterminer si l'équation proposée est celle d'un cercle et si tel est le cas, préciser son centre et son rayon.
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Dans chaque cas, déterminer si l'équation proposée est celle d'un cercle et si tel est le cas, préciser son centre et son rayon.
- $x^2-4x+y^2-6y+1=0$
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$On a $x^2-4x=(x-2)^2-4$ et $y^2-6y=(y-3)^2-9$On a $(x-2)^2=x^2-4x+4$ soit $x^2-4x=(x-2)^2-4$
et $(y-3)^2=y^2-6y+9$ soit $y^2-6y=(y-3)^2-9$
$x^2-4x+y^2-6y+1=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2-4+(y-3)^2-9+1=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2-12=0$
$\Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=12$
- $x^2+8x+y^2-2y+4=0$
On a $x^2+8x=(x+4)^2-16$ et $y^2-2y=(y-1)^2-1$On a $(x+4)^2=x^2+8x+16$ soit $x^2+8x=(x+4)^2-16$
et $(y-1)^2=y^2-2y+1$ soit $y^2-2y=(y-1)^2-1$
$x^2+8x+y^2-2y+4=0$
$\Longleftrightarrow (x+4)^2-16+(y-1)^2-1+1=0$
$\Longleftrightarrow (x+4)^2+(y-1)^2=16$
$\Longleftrightarrow (x-(4))^2+(y-1)^2=16$
- $x^2+2x+y^2+10y+50=0$
On a $x^2+2x=(x+1)^2-1$ et $y^2+10y=(y+5)^2-25$On a $(x+1)^2=x^2+2x+1$ soit $x^2+2x=(x+1)^2-1$
et $(y+5)^2=y^2+10y+25$ soit $y^2+10y=(y+5)^2-25$
$x^2+2x+y^2+10y+50=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2-1+(y+5)^2-25+50=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2+(y+5)^2+24=0$
$\Longleftrightarrow (x+1)^2+(y+5)^2=-24$
Le membre de droite doit correspondre à $r^2$ donc doit être positif
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Équation d'un cercle
- déterminer une équation de cercle
- déterminer le centre et le rayon connaissant une équation du cercle
infos: | mn |
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