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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(2;1)$, $B(-2;3)$.
  1. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$

    Produit scalaire dans un repère orthonormé


    Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$

    Valeurs remarquables du cos et du sin


    méthode 1: triangle rectangle inscrit dans un cercle
    Si $M$ est un point du cercle de diamètre $[AB]$, $AMB$ est un triangle rectangle en $M$
    méthode 2: avec le produit scalaire de vecteurs orthogonaux
    Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$
    Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}$ puis écrire une équation sachant que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=0$
    Méthode 1
    $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ donc les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux
    donc $AMB$ est un triangle rectangle en $M$ L

    Méthode 2.avec les coordonnées
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{ \overrightarrow{AM}}=y_M-y_A= y-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AM}( x-2 ; y-1 )$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BM}}=x_M-x_B=-x-(-2) =x+2\\ y_{ \overrightarrow{BM}}=y_M-y_B= y-3 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{BM}(x+2 ; y-3 )$

    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
    $\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{BM}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{BM}}=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2)\times (x+2)+(y-1)\times (y-3)=0$
    $\Longleftrightarrow x^2-2x+2x-4+y^2-y-3y+3=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y-1=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4-1=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=5$
    L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ est le cercle d'équation $ x^2+(y-2)^2=5$ de centre $C(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{5}$

    Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $C$ puis tracer le cercle de centre $C$ et rayon $[CA]$ ( ou $[CB]$)
    Placer un point $M$ sur le cercle puis tracer $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{BM}$
    puis utiliser la commande ProduitScalaire[u,v](voir image ci-dessous)
    pour vérifier que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
    On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=e$ sur la figure
  2. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
    Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$
    Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}$ puis écrire une équation sachant que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=5$
    On a $ \overrightarrow{AM}( x-2 ; y-1 )$ et $ \overrightarrow{BM}(x+2 ; y-3 )$

    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
    $\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{BM}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{BM}}=5$
    $\Longleftrightarrow (x-2)\times (x+2)+(y-1)\times (y-3)=5$
    $\Longleftrightarrow x^2-2x+2x-4+y^2-y-3y+3=5$
    $\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y-1=5$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4-1=5$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=10$
    L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$ est le cercle d'équation $ x^2+(y-2)^2=10$ de centre $C(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{10}$

    Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $C$ puis tracer le cercle de centre $C$ et rayon $r=\sqrt{10}$ en utilisant la commande "cercle centre-rayon" et en saisissant sqrt(10) pour le rayon.
    Placer un point $M$ sur le cercle puis tracer $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{BM}$
    puis utiliser la commande ProduitScalaire[u,v](voir image ci-dessous)
    pour vérifier que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
    On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=e$ sur la figure
  3. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $AM^2+BM^2=12$
    $AM^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2=(x-2)^2+(y-1)^2$
    $BM^2=(x_M-x_B)^2+(y_M-y_B)^2=(x-(-2))^2+(y-3)^2=(x+2)^2+(y-3)^2$

    $AM^2+BM^2=12 \Longleftrightarrow (x-2)^2+(y-1)^2+(x+2)^2+(y-3)^2=12$

    $\phantom{AM^2+BM^2=12} \Longleftrightarrow x^2-4x+4+y^2-2y+1+x^2+4x+4+y^2-6y+9=12$

    $\phantom{AM^2+BM^2=12} \Longleftrightarrow 2x^2+2y^2-8y=-6$
    $\phantom{AM^2+BM^2=12} \Longleftrightarrow x^2+y^2-4y=-3$ (on divise les deux membres par 2)

    $\phantom{AM^2+BM^2=1} \Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4=-3$

    $\phantom{AM^2+BM^2=1} \Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=1$
    donc l'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=12$ est le cercle de centre $D(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{1}=1$
    Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $D$ puis tracer le cercle de centre $D$ et rayon $r=1$ en utilisant la commande "cercle centre-rayon", en pointant le point $D$ puis en saisissant 1 pour le rayon.
    Placer un point $M$ sur le cercle puis saisir $AM^2+BM^2$ dans la barre de saisie
    On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $AM^2+BM^2=e=12$ sur la figure

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Déterminer le centre et le rayon d'un cercle

- déterminer si une équation correspond à celle d'un cercle
- déterminer le centre et le rayon d'un cercle défini par une équation cartésienne


infos: | 3mn45smn |

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