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$A$ et $B$ désignent deux événements.
On rappelle que les événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $p(A)p(B)=p(A\cap B)$
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On rappelle que les événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $p(A)p(B)=p(A\cap B)$
- Montrer que $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$.
Intersection (A et B) et réunion (A ou B)
Soient A et B deux événements.
L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$$A=(A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})$$p(A)=p\left((A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})\right)$
$\phantom{p(A)}=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})-p\left((A\cap B)\cap (A\cap \overline{B})\right)$
or $A\cap B$ et $A\cap \overline{B}$ sont disjoints
donc $p\left((A\cap B)\cap (A\cap \overline{B})\right)=0$
- En déduire que si $A$ et $B$ sont indépendants on a $p(A\cap \overline{B})=p(A)\times p(\overline{B})$
Avec la question 1, on a $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$ soit $p(A)-p(A\cap B)=p(A\cap \overline{B})$Si $A$ et $B$ sont indépendants alors on a $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$ donc
$p(A\cap \overline{B})=p(A)-p(A\cap B)=p(A)-p(A)\times p(B)$
$=p(A)\left(1-p(B)\right)$
$=p(A)p(\overline{B})$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
calculs de probabilités
- calcul de probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales
infos: | 10-15mn |