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Dans chaque cas, calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et donner le sens de variation de la fonction
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- $f(x)=3xe^x$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^x$
Pour étudier le signe de $f~'(x)$, penser au fait que $e^x>0$ pour tout réel $x$.On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^x$
et on a $u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
$f~'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3e^x+3xe^x=3e^x(1+x)$
Pour tout réel $x$, $e^x>0$
donc $f~'(x)$ est du signe de $1+x$
$1+x>0 \Longleftrightarrow x>-1$
donc $f~'(x)>0$ sur $]-1;+\infty[$
et donc $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$
Courbe représentative de $f$ donnée à titre indicatif:
Avec CASIO graphique:
Penser à contrôler le calcul de $f~'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice (voir fiche méthode Contrôler le calcul d'une dérivée avec la calculatrice CASIO)
MENU TABLE: saisir Y1=f(x) et Y2=f'(x)
SET OPTIONS vérifier que DERIVATIVE est sur ON
puis contrôler que $Y'1=Y2$ - $f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+2}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
On pose $u(x)=3e^x$ et on a $v(x)=x^2+2$
$(uv)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
Factoriser le numérateur par $e^x$ pour étudier le signe de $f~'(x)$On pose $u(x)=3e^x$ et on a $v(x)=x^2+2$
On a $u'(x)=3e^x$ et $v'(x)=2x$
$f~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)'-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f~'(x)}=\dfrac{3e^x(x^2+2)-3e^x \times 2x}{(x^2+2)^2}$
$\phantom{f~'(x)}=\dfrac{3e^x(x^2+2-2x)}{(x^2+2)^2}$
$\phantom{f~'(x)}=\dfrac{3e^x(x^2-2x+2)}{(x^2+2)^2}$
Pour tout réel $x$, on a $3e^x>0$ et $(x^2+2)^2>0$
donc $f~'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$
Recherche des racines de $x^2-2x+2$
$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1 \times 2=-4$ $\Delta < 0$ donc il y a n'y a pas de racine
et donc $x^2-2x+2$ est de signe constant et du signe de $a=1$ coefficient de $x^2$
donc $x^2-2x+2>0$
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