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Contenu

Graphe probabiliste à deux états et matrice de transition

Suites arithméticogéométriques

Limite d’une suite

Recherche de l’état stable

Exercice | Temps recommandé entre 10 et 20mn | Niveau 2 difficulté moyenne | séquence 3 du chapitre |
Pendant ses vacances d'été, Alex a la possibilité d'aller se baigner tous les jours. S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,7$.
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,9$.
Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :
$a_{n}$ la probabilité qu'Alex n'aille pas se baigner le $n$-ième jour.
$b_{n}$ la probabilité qu'Alex aille se baigner le $n$-ième jour.
$P_{n} = \begin{pmatrix} a_n&b_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour.
  1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état " Alex va se baigner ").
    Aide

    S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,7$, c'est à dire de passer de l'état B à l'état B

    Solution

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  2. Donner la matrice $M$ de transition associée à ce graphe et l'état initial.
    Rappel cours

    Matrice de transition d'un graphe probabiliste
    La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.

    Aide

    Le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne est la probabilité de passer de l'état A à l'état B

    Solution

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  3. Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $b_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,7 b_{n}$.
    Aide

    Calculer $P_{n}\times M$ et on a $E_{n+1}=\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix}$

    Solution

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  4. En déduire que : $b_{n+1} = - 0,2b_{n} + 0,9$.
    Aide

    On a $a_n+b_n=1$ donc $a_n=1-b_n$ que l'on peut remplacer dans l'égalité de la question précédente.

    Solution

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  5. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ non nul par $u_{n} = b_{n} - 0,75$.
    Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$ ; on précisera son premier terme.
    Rappel cours

    Suite géométrique
    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ Forme explicite d'une suite géométrique
    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

    Aide

    $u_{n+1}=b_{n+1}-0,75=-0,2b_n+0,9-0,75$...

    Solution

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  6. En déduire l'expression de $u_n$ puis de $b_n$ en fonction de $n$.
    Rappel cours

    include('/rappels_cours/1/exp_geo.php');

    Aide

    Le premier terme de la suite $(u_n)$ est $u_1$fat
    On a $u_n=b_n-0,75$ donc $b_n=u_n+0,75$

    Solution

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  7. Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 5ième jour de ses vacances ?
    Aide

    On veut calculer $b_{5}$

    Solution

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  8. Déterminer la limite de la suite $(b_n)$.
    Rappel cours

    Limite de $q^n$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
    Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$

    Solution

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  9. Retrouver l'état stable en utilisant la matrice de transition.
    Rappel cours

    État stable ou chaîne de Markov stationnaire
    On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.

    Solution

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