Résoudre les inéquations
  1. $|x-2|\leq 3$

    Inéquation de la forme $|x-a|\leq r$


    Sur un axe gradué, si le point $A$ a pour abscisse $a$ et le point $M$ a pour abscisse $x$, on a $AM=d(a;x)=|x-a|$.
    On veut $AM \leq r$.
    L'ensemble de solution de l'inéquation $|x-a|\leq r$ est l'intervalle de centre $a$ et rayon $r$ soit $S=[a-r;a+r]$.
    Par exemple pour résoudre $|x-2|\leq 3$ on a $a=2$ et $r=3$.

    donc $S=[2-3;2+3]=[-1;5]$
    Avec un axe gradué, on peut utiliser le point $A$ d'abscisse $2$ et le point $M$ d'abscisse $x$ et $AM=|x-2|$
    - Avec les distances
    Sur un axe gradué, $A$ a pour abscisse $2$ et $M$ pour abscisse $x$.
    $AM=d(2;x)=|x-2|$
    et on veut $AM\leq 3$

    donc $x$ appartient à l'intervalle fermé de centre $2$ et rayon $3$
    donc $x \in [2-3;2+3]$

    - Par le calcul
    $|x-2|\leq 3$
    $\Longleftrightarrow -3\leq x-2 \leq 3$
    $\Longleftrightarrow -3+2\leq x-2+2 \leq 3+2$
    $\Longleftrightarrow -1\leq x \leq 5$
  2. $|x+1|< 2$
    on a $|x+1|=|x-(-1)|$
    - Avec les distances
    Sur un axe gradué, $A$ a pour abscisse $-1$ et $M$ pour abscisse $x$.
    $AM=d(-1;x)=|x-(-1)|=|x+1|$
    et on veut $AM <2$

    donc $x$ appartient à l'intervalle ouvert de centre $-1$ et rayon $2$
    donc $x \in ]-1-2;-1+2[$

    - Par le calcul
    $|x+1|< 2$
    $\Longleftrightarrow -2 < x+1 < 2$
    $\Longleftrightarrow -2-1 < x+1-1 < 2-1$
    $\Longleftrightarrow - 3< x < 1$

devoir nº 167


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Valeur absolue, distances et inéquations

- donner la valeur absolue d'une nombre
- distance sur un axe gradué
- équations et inéquations avec valeur absolue

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