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  2. chapitre 4 Inégalités et inéquations
  3. exercice corrigé nº229
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On mesure les dimensions d'un rectangle et on obtient une longueur comprise entre $9,50$m et $10$m et une largeur comprise entre $3,8$m et $4$m.
  1. Donner un encadrement du périmètre de ce rectangle.

    Rappel de cours

    Opérations sur les inégalités

    Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.
    . $a\leq b \Longleftarrow a+c\leq b+c$
    On ne change pas une inégalité en ajoutant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres)
    - Si $a\leq c$ et $c\leq d$ alors $a+c\leq b+d$
    On peut ajouter membre à membre deux inégalités.
    - Si $c>0$, $a\leq b\Longleftrightarrow ac\leq bc$
    On ne change pas une inégalité en multipliant les deux membres par un même nombre strictement positif.
    - Si $c<0$, $a\leq b\Longleftrightarrow ac\geq bc$
    Une inégalité change de sens en multipliant les deux membres par un même nombre strictement négatif.

    Aide

    $P=2L+2l$

    Solution

    On a donc la longueur $L$ et la largeur $l$ telles que $9,5 \leq L \leq 10$ et $3,8\leq l \leq 4$
    donc $2\times 9,5 \leq 2L\leq 2\times 10$ soit $19 \leq 2L \leq 20$ (en mètres)
    et $2\times 3,8 \leq 2l\leq 2\times 4$ soit $7,6 \leq 2l \leq 8$ (en mètres)
    En ajoutant membre à membre, on a donc:
    $19 \leq 2L \leq 20$
    $7,6 \leq 2l \leq 8$
    $19+7,6\leq 2L+2l \leq 20+8$
    soit $26,6 \leq P\leq 28$
  2. On trace un cercle ayant pour rayon la longueur de ce rectangle.
    En utilisant un encadrement de $\pi$ d'amplitude $0,1$, donner un encadrement du périmètre de ce cercle.

    Rappel de cours

    Encadrement d'un réel

    Si $x$ est un réel tel que $a< x < b$ avec $a$ et $b$ réels alors $a$ et $b$ réalisent un encadrement de $x$ d'amplitude $b-a$.
    Par exemple, si $2,4 < x < 2,5$ alors on a un encadrement de $x$ d'amplitude $2,5-2,4=0,1$ (un dixième).

    Aide

    Rappel $P=2\pi R$

    Solution

    Avec la calculatrice, on a $\pi \approx 3,1416$
    donc $ 3,1 < \pi < 3,2$
    et $19 \leq 2L \leq 20$
    Les valeurs sont positives donc on peut multiplier membre à membre:
    $3,1\times 19 < \pi\times 2L < 3,2\times 20$
    soit $58,9 < 2\pi L < 64$

devoir nº 251


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Inéquations, fonctions affines et opérations sur les inégalités

- inéquations du premier degré
- encadrements et opérations sur les inégalités
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