MATHS-LYCEEUn laboratoire veut tester l'efficacité d'un médicament et pour faire la promotion de ce médicament, le laboratoire affirme que celui-ci est efficace dans 75% de cas.
L'organisme chargé du contrôle de cette affirmation effectue un sondage auprès de 150 personnes ayant utilisé ce médicament et le médicament s'est avéré efficace pour 92 personnes.
- Déterminer l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
Intervalle de fluctuation
On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
On note $p$ la fréquence du caractère dans la population totale.
On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
Si $0,2\leq p\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
$f$ appartient à l'intervalle $I_F=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ (intervalle de fluctuation de l'échantillon de taille $n$)penser á vérifier que les conditions d'application pour effectuer les calculs sont satisfaitesOn ici $n\geq 25$ puisque $n=150$.
$p=\dfrac{75}{100}=0,75$ donc on a bien $p\in[0,2;0,8]$.
$p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,75-\dfrac{1}{\sqrt{150}}\approx 0,668$ (il faut arrondir la borne inférieure par défaut)
$p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,75+\dfrac{1}{\sqrt{150}}\approx 0,832$ (il faut arrondir la borne supérieure par excès)
- Doit-on remettre en cause l'affirmation de ce laboratoire?
Prise de décision
On veut finalement savoir si l'hypothèse formulée, à savoir la fréquence $p$ de la population totale, peut être validée ou non.
On utilise alors la fréquence $f$ de l'échantillon:
Si $f\in I_F$ alors on peut valider l'hypothèse $p$ au seuil de confiance de 95% Si $f\notin I_F$, on peut rejeter l'hypothèse $p$ avec un risque d'erreur maximum de 5%On a ici $f=\dfrac{92}{150}$La fréquence observée dans l'échantillon de 150 personnes est $f=\dfrac{92}{150}\approx 0,613$
donc $f\notin I_F$
devoir nº 531
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Devoir probabilités et échantillonnage
- intervalle de fluctuation et prise de décision
- probabilités avec un tableau à double entrée
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