ex nº525 - Calculs de probabilités avec un tableau à double entrée

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Un restaurateur propose trois formules à midi.
- Formule $A$ : Plat du jour/Dessert/Café
- Formule $B$ : Entrée/Plat du jour/Dessert/Café
- Formule $C$ : Entrée/Plat du jour/Fromage/Dessert/Café
Lorsqu'un client se présente au restaurant pour le repas de midi, il doit choisir une des trois formules proposées et commander ou non du vin.
Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$, tandis qu'un client sur deux choisit la formule $B$.
On sait aussi que :
- Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin.
- Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin.
- Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin.
Un client se présente au restaurant pour le repas du midi. On considère les évènements suivants :
- A : " Le client choisit la formule $A$"
- B : " Le client choisit la formule $B$"
- C : " Le client choisit la formule $C$"
- V : " Le client commande du vin "

1. Calculer $p(C)$.

   Aide

   On a $p(A)+p(B)+p(C)=1$

   Solution

   $p(A)+p(B)+p(C)=1$
   Le restaurateur a constaté qu'un client sur cinq choisit la formule $A$ donc $p(A)=\dfrac{1}{5}=0,2$
   et un client sur deux choisit la formule $B$ donc $p(B)=\dfrac{1}{2}=0,5$.
   $p(C)=1-p(A)-p(B)=1-0,2-0,5=0,3$
   La probabilité que le client choisisse la formule $C$ est $p(C)=0,3$
2. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous:
   
   

   Aide

   Parmi les clients qui choisissent la formule $A$ c'est à dire parmi $\dfrac{100}{5}=20$ personnes, une personne sur quatre commande du vin soit $\dfrac{1}{4}$ de 20.

   Solution

   une personne sur 5 choisit la formule $A$ soit $\dfrac{100}{5}=20$ personnes.
   Parmi les clients qui choisissent la formule $A$, une personne sur quatre commande du vin soit $\dfrac{20}{4}=5$
   une personne sur deux choisit la formule $B$ soit $\dfrac{100}{2}=50$.
   Parmi les clients qui choisissent la formule $B$, deux personnes sur cinq commandent du vin soit $\dfrac{50\times 2}{5}=20$ personnes.
   $100-50-20=30$ personnes choisissent la formule $C$.
   Parmi les clients qui choisissent la formule $C$, deux personnes sur trois commandent du vin soit $\dfrac{30\times 2}{3}=20$ personnes.
   
3. Calculer $p(V)$.

   Aide

   Il faut déterminer le nombre total de personnes ayant pris du vin quelque soit le menu choisi.

   Solution

   Il y a 45 personnes sur 100 qui ont choisi du vin
   donc la probabilité que le client ait pris du vin est $p(V)=\dfrac{45}{100}=0,45$
4. Le client commande du vin. Calculer la probabilité qu'il ait choisi la formule $A$.

   Aide

   On choisit un client parmi les 45 clients ayant pris du vin.

   Solution

   Il y a 5 clients qui ont choisit la formule A parmi les 45 ayant pris du vin
   donc la probabilité que le client ait choisit la formule A sachant qu'il a pris du vin est $\dfrac{5}{45}=\dfrac{1}{9}$.
   Remarque
   Cette probabilité est une probabilité conditionnelle (programme de terminale) et peut être notée $p_V(A)$.
   $p_V(A)$ se lit probabilité de $A$ sachant que $V$ est réalisé.