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  2. chapitre 6 Produit scalaire
  3. exercice corrigé nº875
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Les vecteurs $ \overrightarrow{u}$ et $ \overrightarrow{v}$ sont tels que $|| \overrightarrow{u}||=3$, $|| \overrightarrow{v}||=5$ et $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}=8$
  1. Calculer $ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})$

    Rappel de cours

    Propriétés du produit scalaire

    Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
    $(k \overrightarrow{u}).\overrightarrow{v}=k(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})$

    $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$

    Carré scalaire

    $\overrightarrow{u}^2=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=||\overrightarrow{u}||^2$

    Aide

    développer l'expression

    Solution

    $|| \overrightarrow{u}||^2= \overrightarrow{u}^2=9$ et $|| \overrightarrow{v}||^2= \overrightarrow{v}^2=25$
    $ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})= \overrightarrow{u}. \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})}= \overrightarrow{u}^2+ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})}=3^2+8$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})}=17$
  2. Calculer $2 \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u})$

    Aide

    Développer l'expression et utiliser $|| \overrightarrow{u}||^2= \overrightarrow{u}^2=3^2$

    Solution

    $|| \overrightarrow{u}||^2= \overrightarrow{u}^2=3$ et $|| \overrightarrow{v}||^2= \overrightarrow{v}^2=25$
    $2 \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u})= 2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u}.(2 \overrightarrow{u})$
    $\phantom{2 \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u})}= 2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}-4 \overrightarrow{u}^2$
    $\phantom{2 \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u})}= 2\times 8-4\times 3^2$
    $\phantom{2 \overrightarrow{u}.( \overrightarrow{v}-2 \overrightarrow{u})}= -20$
  3. Calculer $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2$

    Solution

    Il faut développer l'expression avec la première identité:
    $( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2= \overrightarrow{u}^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}^2$
    $\phantom{( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2}= \overrightarrow{u}^2+2 \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}+ \overrightarrow{v}^2$
    $\phantom{( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2}=3^2+2\times 8+5^2$
    $\phantom{( \overrightarrow{u}+ \overrightarrow{v})^2}=50$

devoir nº 894


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Interrogation niv 1

- utiliser les différentes expressions du produit scalaire
- calculs avec le produit scalaire

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