Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat.
Ce sondage révèle que 55% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi).
Ce sondage révèle aussi que :
45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.
30% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation.
15% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :
$F$ l'évènement : "l'ancien élève poursuit ses études à la faculté";
$I$ l'évènement : " l'ancien élève a intégré une école d'ingénieur " ;
$T$ l'évènement : " l'ancien élève est sur le marché du travail" ;
$C$ l'évènement : " l'ancien élève vit en colocation ".
  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

    Arbre pondéré


    Probabilités sur un arbre pondéré:
    Placer les probabilités non conditionnelles au premier nievau de l'arbre, soit $p(F)$, $P(I)$ et $p(T)
    55% des élèves poursuivent leurs études à la faculté donc $p(F)=0,55$
    10% des élèves poursuivent des études d'ingénieur donc $p(I)=0,1$

    45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation donc $p_F(C)=0,45$.
    30% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation donc $p_I(C)=0,3$
    15% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation donc $p_T(C)=0,15$
    1. Exprimer à laide d'une phrase l'évènement $F \cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.

      Probabilité de l'événement $A\cap B$


      Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
      $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
      $F\cap C$ se lit événement $F$ et $C$ réalisés
      $F \cap C$ signifie que l'étudiant est en faculté et en colocation
      $p(F\cap C)=p(F) p_F(C)=0,55 \times 0,45=0,2475$
    2. Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,33$.

      Arbre pondéré


      Probabilités sur un arbre pondéré:
      Il faut calculer $p(C)$ en utilisant la formule des probabilités totales et/ou l'arbre en identifiant les parcours menant à l'événement $C$.
      $F$,$I$ et $T$ sont disjoints deux à deux et $F\cap I\cap T=\Omega$
      donc $F$, $T$ et $I$ forment une partition de l'univers
      donc en utilisant la formule des probabilités totales, on a:
      $p(C)=p(F\cap C)+p(I\cap C)+p(T\cap C)$
      $\phantom{p(C)}=0,2475+p(I)p_I(C)+p(T) p_T(C)$
      $\phantom{p(C)}=0,2475+0,1 \times 0,3+0,35\times 0,15$
      $\phantom{p(C)}=0,33$
  2. Un ancien élève vit en colocation.
    Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté.

    Probabilité conditionnelle


    Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
    La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
    et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.
    On veut calculer $p_C(F)$
    La probabilité que l'élève poursuive ses études à la faculté sachant qu'il est en colocation se note $p_C(F)$.
    $p_C(F)=\dfrac{p(C\cap F)}{p(C)}=\dfrac{0,2475}{0,33}=0,75$
  3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Le responsable du sondage affirme : " Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études".
    Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.
    On veut calculer $p_{\overline{C}}(\overline{T})$
    La probabilité de l'événement "l'élève poursuit ses études sachant qu'il n'a pas fait le choix de la colocation" se note $p_{\overline{C}}(\overline{T})$.
    $p_{\overline{C}}(\overline{T})=\dfrac{p(\overline{C}\cap \overline{T})}{p(\overline{C})}$.
    $p(\overline{C}\cap \overline{T})=p(F\cap \overline{C})+p(I\cap \overline{C})=0,55\times 0,55+0,1\times 0,7=0,3725$
    $p(\overline{C})=1-p(C)=1-0,33=0,67$
    donc $p_{\overline{C}}(\overline{T})=\dfrac{p(\overline{C}\cap \overline{T})}{p(\overline{C})}=\dfrac{0,3725}{0,67}\approx 0,56$.
  4. On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
    1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation
      Les expériences sont indépendantes
      On considère l'épreuve "On choisit un élève au hasard " et cette expérience a deux issues possibles:
      soit l'élève est en colocation avec $p(C)=0,33$ soit il ne l'est pas avec $p(\overline{C})=1-0,33=0,67$
      On répète 3 fois successivement cette expérience aléatoire et ces trois épreuves sont indépendantes.
    2. Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
      Au moins un des trois est le contraire de aucun n'est en colocation
      Si on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre d'élèves en colocation parmi les 3.
      On veut qu'au moins un des trois soit en colocation donc $X\geq 1$.
      $p(X \geq 1)=p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)=1-p(X=0)$
      $p(X=0)=p(\overline{C})^3=0,67^3$
      donc $p(X\geq 1)=1-p(X=0)=1-0,67^3\approx 0,6992 \approx 0,7$ en arrondissant à $10^{-2}$ soit $0,01$.

devoir nº 975


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Devoir complet fin de chapitre probabilités

- arbre pondéré
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales
- loi de probabilités et espérance

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