Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6 000
et 32 000 pièces identiques.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$, où $C$ est la fonction définie sur $[6;32]$ par : $C(x)=2x^3-108x^2+5~060x-4~640$
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de $3,50$ \euro~ l'unité.
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
et 32 000 pièces identiques.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$, où $C$ est la fonction définie sur $[6;32]$ par : $C(x)=2x^3-108x^2+5~060x-4~640$
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de $3,50$ \euro~ l'unité.
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.
- Montrer que, pour tout $x \in [6;32]$, $B(x)=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$.
$x$ est exprimé en millires de pièces donc pour $x$ milliers de pièces, on a $1000x$ pièces.On vend $x$ milliers de pièces soit $1000x$ pièces au prix de $3,5$ euros l'unité
donc la recette est $R(x)=3,5\times 1000x=3500x$
$B(x)=R(x)-C(x)$
$~~~~~~=3500x-2x^3+108x^2-5~060x+4~640$
$~~~~~~=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$
- Déterminer $B'(x)$, et étudier son signe sur $[6;32]$.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Dérivées usuelles
Il faut déterminer d'abord les racines de $B'(x)$ en calculant le discriminant $\Delta$$B'(x)=-2\times 3x^2+108\times 2x-1560$
$~~~~~~~~=-6x^2+216x-1560$
$~~~~~~~~=6(-x^2+36x-260)$
$\Delta=b^2-4ac=36^2-4\times (-1)\times (-260)=256$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -36+ 16 }{ -2 }=10$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-36 -16 }{-2 }=26$
- En déduire le tableau de variations de la fonction $B$.
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Tableau de signe de $B'(x)$ et de variation de $B$
Avec la calculatrice (MENU TABLE) on a:
$B(6)=-1264$, $B(10)-2160$, $B(26)=1936$ et $B(32)=-224$ - Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise ?
Donner le nombre de pièces à produire qui réalise ce maximum.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.