Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
On pose $P(z)=z^3-(1+2i)z^2+(1+2i)z-2i$ avec $z\in \mathbb{C}$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
- Calculer $P(2i)$
- En déduire une factorisation de $P(z)$ sous forme d'un produit d'un facteur du premier degré et d'un facteur du second degré.
On a $P(2i)=0$ donc $P(z)$ peut s'écrire sous la forme $P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)$
On peut développer $(z-2i)(az^2+bz+c)$ puis identifier les coefficients de $P(z)$ pour obtenir trois équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.$2i$ est une racine du polynôme donc $P(Z)=(z-2i)(az^2+bz+c)$.
$(z-2i)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-2iaz^2-2ibz-2ic=az^3+(b-2ai)z^2+(c-2ib)z-2ic$
et on a $P(z)=z^3-(1+2i)z^2+(1+2i)z-2i$ donc par identification des coefficients:
$\begin{cases} a=1~~\text{identification du coefficient de }z^3\\ b-2ai=-1-2i~~\text{identification du coefficient de }z^2\\ c-2bi=1+2i~~\text{identification du coefficient de }z\\ -2ic=-2i~~\text{identification de la constante} \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b-2i=-1-2i\\ c-2bi=1+2i\\ -2ic=-2i \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-1\\ c+2i=1+2i\\ -2ic=-2i \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-1\\ c=1\\ c=1 \end{cases}$
- En déduire les solutions de $P(z)=0$.
include282fcoursUn produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
Il faut résoudre $z^2-z+1=0$$P(z)=0 \Longleftrightarrow (z-2i)(z^2-z+1)=0 \Longleftrightarrow z=2i$ ou $z^2-z+1=0$
Résolution de $z^2-z+1=0$
$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 1=-3$
$\Delta <0$ donc il y a donc deux solutions complexes:
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{1 +i\sqrt{3} }{ 2 }$
et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{1 -i\sqrt{3} }{ 2 }$
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
vidéos semblables
Pour compléter cet exercice, nous vous conseillons les vidéos suivantes semblables à l'exercice affiché.
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.