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- On considère l'algorithme suivant :
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4$, $b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième.\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline $n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline 0 &4 &9&&\\ \hline 1&$6,5$&$6,964$&$\dfrac{4+9}{2}=6,5$&$\sqrt{\dfrac{4^2+9^2}{2}}=\sqrt{\dfrac{97}{2}}\approx 6,964$\\ \hline 2&6,732&6,736&$\dfrac{6,5+6,964}{2}\approx 6,732$&$\sqrt{\dfrac{6,5^2+6,964^2}{2}}\approx 6,736$\\ \hline \end{tabular} -
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et
$v_{n} > 0$.
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.On peut poser $P_n$ la propriété $u_n >0$ et $P'_n$ la propriété $v_n>0$
Ne pas oublier de vérifier que $P_0$ et $P'_0$ sont vraies
On veut finalement montrer que $\dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}} sont strictements positifs sachant que $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs.On note $P_n$ la propriété $u_n >0$ et $P'_n$ la propriété $v_n>0$
-initialisation On a $b>a>0$ et $u_0=a$ et $v_0=b$
donc $P_0$ et $P'_0$ sont vraies
-Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel $n$ tel que $P_n$ et $P'n$ soient vraies soit $u_n>0$ et $v_n>0$
On a alors $u_n+v_n >0$ donc $\dfrac{u_n+v_n}{2}>0$
donc $u_{n+1} >0$ soit $P_{n+1}$ vraie.
$\dfrac{u_n^2+v_n^2 }{2}>0$ et $v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}$
On a $v_{n+1}>0$ soit $P'_{n+1}$ vraie
On a donc montré par récurrence que $P_n$ et $P'_n$ sont vraies pour tout entier naturel $n$
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2$.
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leq v_{n}$.en développant (u_n+v_n)^2$
On a $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=(u_{n+1}+v_{n+1})(u_{n+1}-v_{n+1})$$v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=\left(\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}\right)^2-\left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2$
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\dfrac{(u_n+v_n)^2}{4}$
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-\dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2}{4}$
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2}{4}-\dfrac{u_n^2+2u_nv_n+v_n^2}{4}$
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2-v_n^2-2u_nv_n-v_n^2}{4}$ signe $-$ devant la barre de fraction
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{u_n^2-2u_nv_n+v_n^2}{4}$
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\dfrac{(u_n-v_n)^2}{2^2}$
$\phantom{v^2_{n+1} - u^2_{n+1}}=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$
$v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=(v_{n+1}+v_{n+1})(v_{n+1}-u_{n+1})$
$v^2_{n+1} - u^2_{n+1}=\left(\dfrac{u_n-v_n}{2}\right)^2$ donc $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geq 0$
$u_n>0$ et $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ donc on a $u_{n+1}+v_{n+1}>0$
donc $v^2_{n+1} - u^2_{n+1}\geq 0 $ et est donc du signe de $v_{n+1}-u_{n+1}$
donc $v_{n+1}-u_{n+1}\geq 0$ soit $v_{n+1}\geq u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ et on a aussi $v_0>u_0$
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et
$v_{n} > 0$.
-
- Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant $u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}$ et le résultat précédent.$u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n+v_n-2u_n}{2}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{v_n-u_n}{2}$
Or d'après la question précédente $u_n\leq v_n$ donc $v_n-u_n \geq 0$
- Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$.
Si on compare les carrés $v_{n+1}^2$ et $v_n^2$ on peut comparer aussi $v_{n+1}$ et $v_n$ puisque $v_n>0$ pour tout entier naturel $n$ et la fonction carré est strictement croissante sur $[;+\infty[$$v_{n+}^2-v_{n}^2=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}}^2-v_n^2$
$\phantom{v_{n+1}^2-v_n^2}=\dfrac{u_n^2+v_n^2}{2}-v_n^2$
$\phantom{v_{n+1}^2-v_n^2}=\dfrac{u_n^2-v_n^2}{2}$
Or $0donc $v_{n+1}^2-v_n^2<0$
Comme $v_n >0$ pour tout entier $n$, on a donc $v_{n+1}>v_n$
- Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
- Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteIl faut utiliser les variations des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ et trouver un majorant pour la suite $(u_n)$ et un minorant pour la suite $(v_n)$On a $(u_n)$ croissante.
$(v_n)$ est décroissante donc $v_n\leq v_0$ soit $v_n\leq b$
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\leq v_n \leq b$
La suite $(v_n)$ est décroissante.
La suite $(u_n)$ est croissante donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \geq u_0$ et $u_n\geq v_n$
donc $a \leq u_n \leq v_n$
donc la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée par $a$
Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$.
On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par :
$u_{0} = a$, $v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}$ et $v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}$
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