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La fonction $f$ est définie sur $D_f$ par $f(x)=\dfrac{3x^2-2x+1}{x^2+x+2}$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
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- Montrer que $D_f=\mathbb{R}$
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Pour que $f(x)$ soit défini, il faut que le dénominateur soit différent de 0$f$ est définie si $x^2+x+2\neq 0$
Recherche des racines de $x^2+x+2$:
$\Delta=1-8=-7$
$\Delta <0$ donc il n'y a pas de racine
donc $x^2+x+2 \neq 0$
- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ et en donner une interprétation graphique.
on peut factoriser $x^2$Pour tout réel $x\neq 0$ on a:
$f(x)=\dfrac{x^2\left(3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}=\dfrac{3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{2}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x^2}=0$
donc par somme la limite du numérateur est $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}=3$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x^2}=0$
donc par somme la limite du dénominateur est $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}=1$
La droite d'équation $y=3$est asymptote à la courbe en $-\infty$ et $+\infty$. - Calculer $f'(x)$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
on doitcalculer la dérivée d'un quotient $\dfrac{u}{v}$On pose $u(x)=3x^2-2x+1$ et $v(x)=x²+x+2$
On a $u'(x)=6x-2$ et $v'(x)=2x+1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$=\dfrac{(6x-2)(x^2+x+2)-(3x^2-2x+1)(2x+1)}{(x^2+x+2)^2}$
$=\dfrac{(6x^3+6x^2+12x-2x^2-2x-4)-(6x^3+3x^2-4x^2-2x+2x+1}{(x^2+x+2)^2}$
$=\dfrac{6x^3+6x^2+12x-2x^2-2x-4-6x^3-3x^2+4x^2+2x-2x-1}{(x^2+x+2)^2}$
$=\dfrac{5x^2+10x-5}{(x^2+x+2)^2}$
- Etudier les variations de $f$ puis dresser le tableau de variation de $f$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Sur $D_f$, on a $(x^2+x+2)^2>0$ donc la dérivée est du signe de son numérateur
Il faut étudier le signe du numérateur $5x^2+10x-5$
Le numérateur est un polynôme de degré 2.Pour étudier les variations de $f$, il faut étudier le signe de sa dérivée
$(x^2+x+2)^2>0$ sur $\mathbb{R}$
donc $f'(x)$ est du signe du numérateur $5x^2+10x-5=5(x^2+2x-1)$ donc de $x^2+2x-1$
Recherche des racines de $x^2+2x-1$
$\Delta=2^2-4\times 1 \times (-1)=4+4=8$
donc il y a deux racines.
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2}$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$
Le polynôme est donc du signe du coefficient $a=1$ de $x^2$ à "l'extérieur" des racines donc positif sur $]-\infty;x_1[\cup ]x_2;+\infty[$
donc $f'(x)>0$ et donc $f$ est strictement croissante sur $]1;+\infty[$.
avec $f(x_1)=f(-1-\sqrt{2})\simeq 4,3$
et $f(x_2)=f(-1+\sqrt{2})\simeq 0,28$ - Tracer de la courbe $C_f$ dans un repère orthogonal (unités 1cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 2cm pour unité sur l'axe des ordonnées)
Placer dans cet ordre:
Les points d'abscisses $x_1=-1-\sqrt{2}$ et $x_2=-1+\sqrt{2}$ et tracer la tangente en ces points qui est parallèle à l'axe des abscisses.
Placer autant de points que nécessaire pour tracer la courbe $C_f$ avec précision (menu TABLE de la calculatrice)Courbe (voir aide):
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