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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 3 Dérivation-continuité-convexité
  3. exercice corrigé nº1163

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=cos(2x-1)+3x-2$
  1. Calculer la dérivée de $f$.

    Rappel de cours

    Dérivée de cosinus et sinus

    Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
    $(cos(x))'=-sin(x)$
    $(sin(x))'=cos(x)$

    Dérivée d'une fonction composée

    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.

    Aide

    On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=cos(x)$

    Solution

    On pose $u(x)=2x-1$ et $v(x)=cos(x)$ et on a $f(x)=vou(x)+3x-2$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $u'(x)=2$ et $v'(x)=-sin(x)$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+3=-sin(2x-1)\times 2+3=-2sin(2x-1)+3$
  2. En déduire les variations de $f$.

    Aide

    Rappel: $-1\leq sin(x)\leq 1$

    Solution

    Pour tout réel $x$ on a $-1\leq sin(x)\leq 1$
    donc $-1\leq sin(2x-1)\leq 1$
    donc $2\geq -2sin(2x-1)\geq -2$ l'inégalité change de sens quand on multiplie par $-2$
    soit $2+3\geq -2sin(2x-1)+3\geq -2+3$
    donc $5\geq f'(x)\geq 1$
    donc $f'(x)>0$

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