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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 3 Dérivation-continuité-convexité
  3. exercice corrigé nº1164

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2sin(3x)-6x$
  1. Calculer la dérivée de $f$.

    Rappel de cours

    Dérivée de cosinus et sinus

    Les fonctions cosinus et sinus sont définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et on a:
    $(cos(x))'=-sin(x)$
    $(sin(x))'=cos(x)$

    Dérivée d'une fonction composée

    $u$ et $v$ sont définies et dérivables respectivement $I$ et $J$ avec $u(x)\in J$ pour tout $x\in I$. $vou$ est dérivable sur $I$ et $(vou)'=v'ou\times u'$.

    Aide

    On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=-2sin(x)$

    Solution

    On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=-2sin(x)$ et on a $f(x)=vou(x)-6x$
    $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $u'(x)=3$ et $v'(x)=-2cos(x)$
    $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)-6=-2cos(3x)\times 3-6=-6cos(3x)-6$
  2. Donner un encadrement de $-6cos(3x)$.

    Aide

    Rappel: $-1\leq cos(x)\leq 1$

    Solution

    Pour tout réel $x$ on a $-1\leq cos(x)\leq 1$
    donc $-1\leq cos(3x)\leq 1$
    donc $6\geq -6cos(3x)\geq -6$ l'inégalité change de sens quand on multiplie par $-6$
  3. En déduire les variations de $f$.

    Aide

    On peut alors encadrer $f'(x)$ en utilisant la question précédente

    Solution

    $f'(x)=-6cos(3x)-6$
    $6\geq -6cos(3x)\geq -6$ donc $6-6\geq -6cos(3x)-6\geq -6-6$
    donc $0\geq f'(x)\geq -12$
    donc $f'(x)\leq 0$

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