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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(x)$.
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- Montrer que $F$ définie par $F(x)=xln(x)-x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Il faut calculer $F'(x)$ en posant $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
On a alors $F(x)=u(x)v(x)-x$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ dérivables sur $]0;+\infty[$.
$F(x)=u(x)v(x)-x$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
On a alors $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
$\phantom{F(x)}=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1$
$\phantom{F(x)}=ln(x)+1-1$
$\phantom{F(x)}=ln(x)$
$\phantom{F(x)}=f(x)$
- En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]0;+\infty[$ puis la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=1$.
Ensemble des primitives d'une fonction
$f$ est une fonction continue sur $I$ admettant une primitive $F$ sur $I$. L'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $G$ de la forme $G(x)=F(x)+C$ avec $C\in \mathbb{R}$$G(x)=F(x)+C$ et $G(1)=0$On a donc $F'(x)=f(x)$ donc $(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x)$ avec $C$ constante réelle.
On veut $G$ primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ s'annulant en $x=1$
donc $G(x)=xln(x)-x+C$ et $G(1)=0$
$G(1)=0 \Longleftrightarrow 1ln(1)-1+C=0 $
$\phantom{G(1)=0} \Longleftrightarrow -1+C=0$
$\phantom{G(1)=0} \Longleftrightarrow -1+C=0$ (rappel on a $ln(1)=0$)
$\phantom{G(1)=0} \Longleftrightarrow C=1$
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