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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
On donne les points $A(-2;1;5)$, $B(2;3;-1)$, $C(1;-1;3)$ et $D(-6;6;6)$
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On donne les points $A(-2;1;5)$, $B(2;3;-1)$, $C(1;-1;3)$ et $D(-6;6;6)$
- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-(-2)=4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-1=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-1-5=-6 \end{cases}$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-(-2)=3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-1-1=-2\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=3-5=-2 \end{cases}$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AD}}=x_D-x_A=-6-(-2)=-4\\ y_{\overrightarrow{AD}}=y_D-y_A=6-1=5\\ z_{\overrightarrow{AD}}=z_D-z_A=6-5=1 \end{cases}$
- Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$
vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.
Il faut écrire un système d'équations avec les coordonnées des vecteursOn veut déterminer un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}$
soit $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AD}}=ax_{\overrightarrow{AB}}+b x_{\overrightarrow{AC}}\\ y_{\overrightarrow{AD}}=ay_{\overrightarrow{AB}}+b y_{\overrightarrow{AC}}\\ z_{\overrightarrow{AD}}=az_{\overrightarrow{AB}}+b z_{\overrightarrow{AC}} \end{cases}$
On a donc le système d'équations suivant:
$\begin{cases} -4=4a+3b\\ 5=2a-2b\\ 1=-6a-2b \end{cases}$
Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
$\begin{cases} -4=4a+3b\\ 5=2a-2b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -14=7b~~L_1-2L_2\\ 5=2a-2b \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=4a+3b\\ 5=2a-2b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} b=-2\\ 5=2a-2\times (-2) \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} -4=4a+3b\\ 5=2a-2b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} b=-2\\ a=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
On vérifie ensuite que la troisième égalité ($ 1=-6a-2b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
$ -6a-2b=-6\times \dfrac{1}{2}-2\times (-2)=-3+4=1$
- Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $D$?
On a $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Vecteurs et points coplanaires
- justifier que trois vecteurs sont coplanaires avec leurs coordonnées
- justifier que 4 points sont coplanaires
infos: | 15-20mn |
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