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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2;1;3)$, $B(2;-1;5)$ et $C(3;1;4)$.
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- Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-2=0\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-1-1=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-3=2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=1-1=0\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=4-3=1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}+z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{AC}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=0\times 1+(-2)\times 0+2 \times 1$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=2$
- Calculer $AB$ et $AC$
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$On peut utiliser les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ calculées à la question 1$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=\sqrt{0^1+(-2)^2+2^1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
$AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}=\sqrt{1^1+0^2+1^1}=\sqrt{2}$
- En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
Produit scalaire avec les projetés orthogonaux
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)On peut utiliser le résultat de la question 1 et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\widehat{BAC})$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\widehat{BAC})=2\sqrt{2}\sqrt{2}cos(\widehat{BAC})$
Avec le résultat de la question 1, on a donc $2\sqrt{2}\sqrt{2}cos(\widehat{BAC})=2$
donc $cos(\widehat{BAC})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
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