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On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère le point $A(0;4;1)$ et la droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ et passant par $B(2;3;1)$.
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On considère le point $A(0;4;1)$ et la droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ et passant par $B(2;3;1)$.
- Montrer que les coordonnées des points $M(x;y;z)$ appartenant à la sphère de centre $A$ et rayon $\sqrt{14}$ vérifient l'équation $x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=14$
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$M$ appartient à la sphère de centre $A$ et rayon 3 si et seulement si $AM=3$ ou bien encore $AM^2=9$$M(x;y;z)$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$ de centre $A$ et rayon $\sqrt{14}$
$\Longleftrightarrow AM=\sqrt{14}$
$\Longleftrightarrow AM^2=14$
$\Longleftrightarrow (x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2=14$
$\Longleftrightarrow x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=14$
- Déterminer une représentation paramétrique de $d$.
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$la droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ et passant par $B(2;3;1)$
donc si $M(x;y;z)$ appartient à $d$ on a:
$\begin{cases} x=x_B+tx_{\overrightarrow{u}}=2+t\\ y=y_B+ty_{\overrightarrow{u}}=3-t\\ z=z_B+tz_{\overrightarrow{u}}=1+t \end{cases}$
- Déterminer, s'ils existent, les coordonnées des points d'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $d$.
On peut remplacer $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation de la sphère et résoudre l'équation d'inconnue $t$ obtenue ainsi.Un point appartient à $d$ si ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de $d$ soit $\begin{cases} x=2+t\\ y=3-t\\ z=1+t \end{cases}$
On peut remplacer $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $\mathcal{S}$ et on a alors:
$(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=14 \Longleftrightarrow (2+t)^2+(-t-1)^2+(t)^2=14$
$\phantom{(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=14} \Longleftrightarrow 4+4t+t^2+t^2+2t+1+t^2=14$
$\phantom{(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=9} \Longleftrightarrow 3t^2+6t+5=14$
$\phantom{(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=14} \Longleftrightarrow 3t^2+6t-9=0$
$t_1=1$ est une solution de $3t^2+6t-9=0$
et le produit des racines du polynôme est $t_1t_2=\dfrac{c}{a}$ donc $t_2=\dfrac{-9}{3}=-3$
On remplace ensuite $t$ par ses deux valeurs pour déterminer les coordonnées des deux points de $d$ pour lesquels $t_1=1$ et $t_2=-3$:
$\begin{cases} x_1=2+t_1=2+1=3\\ y_1=3-t_1=3-1=2\\ z_1=1+t_1=1+1=2 \end{cases}$
$\begin{cases} x_2=2+t_2=2-3=-1\\ y_2=3-t_2=3-(-3)=6\\ z_2=1+t_2=1-3=-2 \end{cases}$
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