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Dans chaque cas déterminer les réels $a$ et $b$ et donner l'inéquation de la forme $|x-\alpha|\leq k$ (ou $|x-\alpha|< k$ayant pour ensemble de solution $[a;b]$ (ou $]a;b[$).
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- $d(x;1)\leq 3 \Longleftrightarrow [a;b]$
Intervalle centré
Un intervalle fermé (respectivement ouvert) de centre $a$ ($a$ réel) et de rayon $r$ réel strictement positif est un intervalle de la forme $[a-r;a+r]$ (respectivement $]a-r;a+r[$.
Par exemple, l'intervalle fermé de centre $a=2$ et rayon $r=3$ est $I=[2-3;2+3]=[-1;5]$
Distance entre deux réels
Si les points $A$ et $B$ ont pour abscisses respectives $a$ et $b$ sur un axe gradué, la distance entre les réels $a$ et $b$ est $AB=d(a;b)=|a-b|=|b-a|$.
Par exemple $d(-2;3)=|3-(-2)|=|3+2|=|5|=5$
$d(-3;-7)=|-7-(-3)|=|-7+3|=|-4|=4$$[a;b]$ est l'intervalle centré de centre $1$ et rayon $3$$[a;b]=[1-3;1+3]=[-2;4]$
et on a alors $d(x;1)=|x-1|$ donc $|x-1|\leq 3$
- $d(x;-2)< 3 \Longleftrightarrow ]a;b[$
Intervalle centré
Un intervalle fermé (respectivement ouvert) de centre $a$ ($a$ réel) et de rayon $r$ réel strictement positif est un intervalle de la forme $[a-r;a+r]$ (respectivement $]a-r;a+r[$.
Par exemple, l'intervalle fermé de centre $a=2$ et rayon $r=3$ est $I=[2-3;2+3]=[-1;5]$
$]a;b[$ est l'intervalle ouvert centré de centre $-2$ et rayon $3$$]a;b[=]-2-3;-2+3[=]-5;1[$
et on a alors $d(x;-2)=|x-(-2)|=|x+2|$ donc $|x+2|< 3$
- $d(x;4)< \dfrac{2}{3} \Longleftrightarrow ]a;b[$
$]a;b[$ est l'intervalle ouvert centré de centre $4$ et rayon $ \dfrac{2}{3} $$]a;b[=\left]4- \dfrac{2}{3};4+ \dfrac{2}{3} \right[$
$4- \dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}$
et $4+ \dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}$
et on a alors $d(x;4)=|x-4|$ donc $|x-4|< \dfrac{2}{3}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Lien intervalle centré-inéquation
- intervalle donné: déterminer le centre et le rayon et l'inéquation correspondante
- centre et rayon donnés: déterminer l'intervalle et l'inéquation correspondante
- inéquation donnée: déterminer l'ensemble de solution puis son centre et son rayon
infos: | 10mn |
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