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On considère les fonction $f$, $g$ correspondant respectivement aux fonctions carré, racine carrée et $h$ la fonction linéaire définie par $h(x)=x$
  1. Dans un repère orthonormé, tracer $C_f$, $C_g$ et $C_h$ les représentations graphiques respectivement des fonctions $f$, $g$ et $h$.
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour placer suffisament de points afin d'avoir un tracé précis
    Pour les fonctions $f$ et $g$, on peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice afin d'avoir suffisamment de points pour obtenir un tracé précis.
    $h$ est une fonction linéaire donc $C_h$ est une droite passant par l'origine et le point $A(2;h(2))$ par exemple soit $A(2;2)$.
    $C_f$ est une parabole de sommet $O(0;0)$.
  2. Pour tout réel $x>0$, exprimer $f(x)-h(x)$ en fonction de $x$ et étudier le signe de $f(x)-h(x)$.
    Contrôler graphiquement.
    Il faut essayer de factoriser l'expression obtenue pour pouvoir faire un tableau de signes de $f(x)-h(x)$
    $f(x)-h(x)=x^2-x=x(x-1)$
    On a un produit de deux facteurs:

    $f(x)-h(x)>0$ pour $x > 1$ donc $f(x) > h(x)$
    Graphiquement, on a bien $C_f$ au-dessus de $C_h$ pour $x > 1$.

    On a $f(x)-h(x)=x(x-1)$ avec $x >0 $ donc $f(x)-h(x)$ est du même signe de le facteur $x-1$.
    On pouvait donc directement écrire le signe de $x-1$ pour obtenir celui de $f(x)-h(x)$
  3. Pour tout réel $x>0$, exprimer $g(x)-h(x)$ en fonction de $x$.
    Montrer que $g(x)-h(x)=\dfrac{x(x-1)}{\sqrt{x}+x}$ et en déduire le signe de $g(x)-h(x)$.
    Contrôler graphiquement.

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{x}-x$ soit $\sqrt{x}+x$ pour obtenir le résultat demandé
    $g(x)-h(x)=\sqrt{x}-x$
    $\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{(\sqrt{x}-x)(\sqrt{x}+x)}{\sqrt{x}+x}$
    $\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{\sqrt{x}^2-x^2}{\sqrt{x}+x}$
    $\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{x-x^2}{\sqrt{x}+x}$
    $\phantom{g(x)-h(x)}=\dfrac{x(1-x)}{\sqrt{x}+x}$
    On a trois facteurs:
    $x > 0$ donc $\sqrt{x}+x >0$ (somme de deux nombres strictement positifs)

    $g(x)-h(x)<0$ pour $x > 1$ donc $g(x) < h(x)$
    Graphiquement, on a bien $C_g$ en-dessous de $C_h$ pour $x > 1$.

    On a $\sqrt{x}+x>0$ et $x > 0$ donc on peut déterminer le signe de $g(x)-h(x)$ avec celui de $1-x$
  4. Comparer alors $x$, $\sqrt{x}$ et $x^2$ pour tout réel $x > 0$ en fonction de la valeur de $x$.
    Il faut utiliser les deux questions précédentes pour conclure
    Pour $x\in ]0;1[$ on a donc $f(x)< x < g(x)$
    et pour $x \in ]1;+\infty [$, on a $f(x) > x > g(x)$.

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