Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ en fonction des valeurs prises par le réel $m$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
- Exprimer le discriminant $\Delta$ en fonction de $m$.
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On a $a=1$, $b=m+1$ et $c=m+1$On a ici $a=1$, $b=m+1$ et $c=m+1$
$\Delta=b^2-4ac$
$~~~~=(m+1)^2-4\times 1\times (m+1)$
$~~~~=m^2+2m+1-4m -4$
$~~~~ =m^2-2m-3$
- Déterminer les racines de $ m^2-2m-3$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.$\Delta_1=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 1\times (-3)=4+12=16$\\
$\Delta_1>0$ donc il y a deux racines\\
$m_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2 +4 }{2 }=3$\\
et $m_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 2- 4}{2 }=-1$
- En déduire le signe de de $m^2-2m-3$ puis le nombre de solutions de l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ en fonction des valeurs de $m$.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Si $\Delta_1>0$ alors l'équation admet deux racines...Tableau de signes de $\Delta_1=m^2-2m-3$
\includegraphics[scale=0.4]{fig01}
- Si $m\in ]-\infty;-1[\cup ]3;+\infty[$, on a $\Delta>0$
alors l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ admet deux solutions.
- Si $m\in ]-1;3[$, on a $\Delta<0$
alors l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ n'admet pas de solution.
- Si $m=-1$ ou $m=3$, on a $\Delta=0$ L alors l'équation $x^2+(m+1)x+m+1=0 $ admet une seule solution.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.