MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Dérivation

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $D_f=]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x^2-x-6}{x-1}$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Calculer $f'(x)$

Rappel de cours

Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

Il faut calculer $f'(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ (dérivée d'un quotient)

Solution

Calcul de $f'(x)$ (formule $\dfrac{u}{v}$)
On pose $u(x)=2x^2-x-6$ et $v(x)=x-1$
On a alors $u'(x)=4x-1$ et $v'(x)=1$

$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$=\dfrac{(4x-1)(x-1)-(2x^2-x-6)(1)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{4x^2-4x-x+1-2x^2+x+6}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{2x^2-4x+7}{(x-1)^2}$
Étudier les variations de $f$ puis dresser le tableau de variation de $f$

Rappel de cours

Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

Aide

Sur $D_f$, on a $(x-1)^2>0$ donc la dérivée est du même signe que son numérateur
Il faut étudier le signe du numérateur $2x^2-4x+7$
Le numérateur est un polynôme de degré 2.

Solution

Pour étudier les variations de $f$, il faut étudier le signe de sa dérivée
$(x-1)^2>0$ sur $]1;+\infty[$
donc $f'(x)$ est du signe du numérateur $2x^2-4x+7$
Recherche des racines de $2x^2-4x+7$
$\Delta=(-4)^2-4\times 2 \times 7=16-56=-40$ donc il n'y a aucune racine
Le polynôme est donc de signe constant
et est du signe du coefficient $a=2$ de $x^2$ donc $2x^2-4x+7>0$ pour tout réel $x$.
donc $f'(x)>0$ et donc $f$ est strictement croissante sur $]1;+\infty[$.

Il faut commencer par l'ensemble de définition de $f$
ne pas oublier la double barre pour la valeur interdite

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses.

Aide

Un point $M(x;y)$ appartient à l'axe des abscisses si $y=0$
Un point $M(x;y)$ appartient à la courbe $C_f$ si $y=f(x)$

Solution

Soit $A(x_A;y_A)$ le point d'intersection de $C_f$ avec l'axe des abscisses.
On a alors $y_A=0$ et $A\in C_f$
Il faut donc résoudre l'équation $f(x)=0$

$f(x)=0$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2x^2-x-6}{x-1}=0$
$\Longleftrightarrow 2x^2-x-6=0$

Recherche des racines de $2x^2-x-6$
$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 2\times (-6)=49$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1-7}{4}=\dfrac{-3}{2}\notin D_f$
et
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1+7}{4}=2 \in D_f$
donc la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses au point $A(2;0)$
Donner une équation réduite de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse 2.

Rappel de cours

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

Aide

Calculer $f(2)$ puis $f'(2)$

Solution

Le coefficient directeur de la tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse 2 est
$f'(2)=\dfrac{2 \times 2^2-4\times 2+7}{(2-1)^2}=7$
et T passe par le point de coordonnées $(2;f(2)$ avec $f(2)=0$.

On a donc T: $y=f'(2)(x-2)+f(2)=7(x-2)+0=7x-14$

On peut aussi utiliser:
Le coefficient directeur de T est $f'(2)=7$ donc T a une équation réduite de la forme $y=7x+b$
Le point de coordonnées $(2; 0)$ appartient à T donc $0=7\times 2+b\Longleftrightarrow b=-14$
soit T: $y=7x-14$
Tracer de la courbe $C_f$, la tangente $T$ dans le repère ci-dessous.

Aide

Placer dans cet ordre:
Le point $(2;0)$ et la tangente T en ce point.

es extremums s'il y en a puis suffisamment de points pour tracer la courbe $C_f$ (menu TABLE de la calculatrice)
Dans le menu TABLE de la calculatrice, saisir en Y1 la fonction $f$
Y1=(2x^2-x-6)/(x-1) puis Y2$=7x-14$
Ne pas oublier de paramétrer les valeurs du tableau (début, fin et pas))

Solution

Menu TABLE (CASIO) de la calculatrice
Saisir Y1=$(2x^2-x-6)$/(x-1) puis Y2$=7x-14$
Touche F6 (SET) avec Xstart:1, X-end:10 par exemple et Pitch:0,5
pour avoir un point sur le graphique toutes les 0,5 unités sur l'axe des abscisses.