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$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$cm et $AD=4$cm de centre $O$.
On veut calculer la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
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On veut calculer la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
- Méthode 1: sans repère
Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ puis la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ et en déduire celle de $\widehat{AOB}$ dans le triangle $AOB$$ABCD$ est un rectangle donc le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le point $B$.
Dans un rectangle l'angle $\widehat{BAC}$ est de mesure inférieure à $90^o$ donc $\widehat{BAC}$ est aigu
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}>0$
donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AB=AB^2=6^2=36$
Dans le triangle $ABC$, on a:
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ donc on peut utiliser le théorème de Pythagore:
$AC^2=AB^2+BC^2=6^2+4^2=52$
donc $AC=\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=2\sqrt{13}$
$ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=6\times 2\sqrt{13} \times cos(\widehat{BAC})$
$\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=12\sqrt{13} ~~ cos(\widehat{BAC})$
donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=12\sqrt{13} ~~ cos(\widehat{BAC})=36$
On a donc l'équation suivante:
$\phantom{\Longleftrightarrow} 12\sqrt{13} ~~ cos(\widehat{BAC})=36$
$\Longleftrightarrow ~~ cos(\widehat{BAC})=\dfrac{36}{12\sqrt{13}}$
$\Longleftrightarrow ~~ cos(\widehat{BAC})=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$
donc $\widehat{BAC}=cos^{-1}\left( \dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)$
$ABCD$ est un rectangle donc les diagonales $[AC]$ et $BD]$ sont de la même longueur et se coupent en leurs milieux
donc le triangle $AOB$ est isocèle en $O$ et $\widehat{BAO}=\widehat{ABO}$
$O\in [AC]$ donc $\widehat{BAC}=\widehat{BAO}$
donc (en degrés) $\widehat{AOB}=180-2\times \widehat{BAO}=180-2\widehat{BAC}$
- Méthode 2: En utilisant un repère orthonormé
On considère le repère $(A; \overrightarrow{AI}; \overrightarrow{AJ})$ avec $I\in [AB]$ et $J\in [AD]$ tels que $AI=AJ=1$cm
Donner (sans justifier) les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$ dans ce repère puis calculer celles des vecteurs $ \overrightarrow{OA}$ et $ \overrightarrow{OB}$
Calculer $OB$ puis la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Produit scalaire (définition)
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalaire des deux vecteurs est noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$,et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$$AB=6$cm donc $B(6;0)$
Calculer $ \overrightarrow{OB}. \overrightarrow{OC}$ en utilisant les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{OB}$ et $ \overrightarrow{OC}$
Calculer $OB$ et exprimer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}$ en fonction de $cos(\widehat{AOB})$
En déduire la valeur de $cos(\widehat{AOB})$ puis la mesure de $ \widehat{AOB}$$A(0;0)$, $B(6;0)$, $D(6;4)$, $D(6;4)$ et $O(3;2)$ ($O$ milieu de $[AC]$)
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{OA}}=x_A-x_O=0-3=-3 \\ y_{ \overrightarrow{OA}}=y_A-y_O=0-2=-2 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{OA}(-3;-2)$
$\begin{cases} x_{ \overrightarrow{OB}}=x_B-x_O=6-3=3 \\ y_{ \overrightarrow{OB}}=y_B-y_O=0-2=-2 \end{cases}$
donc $ \overrightarrow{OB}(3;-2)$
$ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=x_{ \overrightarrow{OA}}x_{ \overrightarrow{OB}}+y_{ \overrightarrow{OA}}y_{ \overrightarrow{OB}}$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=-3\times 3+(-2)\times (-2)$
$\phantom{ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}}=-5$
$ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=OA\times OB\times cos(\widehat{AOB})$
$OA=OB=\sqrt{(x_{ \overrightarrow{OA}}^2+y_{ \overrightarrow{OB}}^2}=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$
donc $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=\sqrt{13}\times \sqrt{13}\times cos(\widehat{AOB})=13 cos(\widehat{AOB})$
On a donc $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}=13 cos(\widehat{AOB})=-5$
$13 cos(\widehat{AOB})=-5 \Longleftrightarrow cos(\widehat{AOB})=\dfrac{-5}{13}$
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Fiche méthode
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Calculs de longueurs et d'angles dans un triangle
- calcul d'une longueur
- calcul d'un angle
infos: | 10-15mn |
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