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$f$ est une fonction définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=ax^3+6x^2-3x+1$ avec $a$ réel.
- Calculer la dérivée seconde $f~''$ de $f$
- En déduire la valeur de $a$ pour que fonction $f$ soit concave sur $[1;+\infty[$ et convexe $]-\infty;1]$
point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.
Il faut résoudre l'équation $f~''(1)=0$$f$ soit est concave sur $[1;+\infty[$ et convexe $]-\infty;1]$
donc la dérivée seconde s'annule et change de signe en $x=1$
$f~''(1)=0 \Longleftrightarrow 6a+12=0 \Longleftrightarrow a=-2$
- Déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $x=1$
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$} coursCalculer $f(1)$ puis $f'(1)$$f(x)=-2x^3+6x^2-3x+1$
$f(1)=-2+6-3+1=2$
$f~'(x)=-2\times 3x^2+6\times 2x-3=-6x^2+12x-3$
$f~'(1)=-6+12-3=3$
$T$: $y=f~'(1)(x-1)+f(1)=3(x-1)+2=3x-1$
- Tracer la courbe représentative de $f$ et la tangente $T$ dans un repère orthogonal et contrôler les résultats obtenus
Avec GEOGEBRA, on peut saisir la fonction $f$ dans la barre de saisie puis tracer la tangente au point d'abscisse 1 en utilisant TANGENTE[1,$f$]
Avec la calculatrice saisir $f$ dans Y1 et l'équation réduite de $T$ dans Y2On peut utiliser GEOGEBRA pour contrôler le résultat.
Avec GEOGEBRA, saisr la fonction $f$ dans la barre de saisie puis tracer la tangente au point d'abscisse 1 en utilisant TANGENTE[1,$f$]:
Avec la calculatrice, saisir $f$ dans Y1 et l'équation réduite de $T$ dans Y2 et ne pas oublier de paramétrer le repère avec SHIFT F3 (V-WINDOW).
\includegraphics[scale=0.6]{fig2}
On peut zoomer sur le point d'inflexion pour contrôler cette portion du graphique:
\includegraphics[scale=0.6]{fig3}
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