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$ABCDEFGH$ est un cube de còté $a$.
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- Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$.
produit scalaire
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalairedes deux vecteurs est noté \rg{$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$},et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$Produit scalaire avec les projetés orthogonaux
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)On peut utiliser le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$ ou bien l'angle $\widehat{BAF}$$ABFE$ est un carré donc le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$ est $B$
On peut aussi utiliser $\widehat{BAF}$.
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AB\times AF\times cos(\widehat{BAF})=a\times a\sqrt{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2$ (rappel $cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$) - Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{FE}$.
produit scalaire
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont deux vecteurs non nuls tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$, le produit scalairedes deux vecteurs est noté \rg{$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$},et est le nombre réel défini par:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\mid \mid \overrightarrow{u}\mid \mid\times \mid \mid \overrightarrow{v}\mid \mid \times cos(\widehat{BAC})=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$$\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{FE}}=\pi$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{FE}=AB\times FE\times \cos(\pi)=-a^2$ (rappel $cos(\pi)=-1$
ou bien $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}.(-\overrightarrow{AB})=-AB^2=-a^2$
- Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EG}$.
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