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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 8 Géométrie dans l'espace
  3. exercice corrigé nº1341

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$ABCDEFGH$ est un pavé droit tel que $AB=8$, $AD=5$ et $AE=3$.

  1. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}$.

    Rappel de cours

    relation de Chasles

    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

    Orthogonalité et produit scalaire

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}$

    Solution

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}$
    $=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG})$
    $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CG}$
    On a $(AB)$ et $(BC)$ perpendiculaires donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$
    et $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{BF}$ donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BF}=0$ car $(AB)$ et $(FB)$ sont perpendiculaires
  2. Calculer $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{HC}$.

    Aide

    $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$

    Solution

    $\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{HC}$
    $=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}).(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$
    $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{HA} +\overrightarrow{CF}.\overrightarrow{BC}$
    $=0+AB^2+0+0 +0 +BC^2 +CF^2 +0$
    $=64+25+9$
    $=98$

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