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On considère les complexes $z=1+i$ et $z'=\sqrt{3}+i$.
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- Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ et de $z'$
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.$|z|=\sqrt{(1)^2+1^2}=\sqrt{2}$
$z=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$\phantom{z}=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
$\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).
$|z'|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
$z'=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right)$
donc si on note $\theta'=arg(z)$ on a:
$\begin{cases} cos(\theta')=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta')=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $\theta'=\dfrac{\pi}{6}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta'=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).
- En déduire l'écriture exponentielle de $\dfrac{z}{z'}$.
Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}{2e^{i\frac{\pi}{3}}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$
- Calculer $\dfrac{z}{z'}$ sous forme algébrique.
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$$\dfrac{z}{z'}=\dfrac{1+i}{\sqrt{3}+i}$
$\phantom{\dfrac{z}{z'}}=\dfrac{(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$\phantom{\dfrac{z}{z'}}=\dfrac{\sqrt{3}-i+i\sqrt{3}-i^2}{\sqrt{3}^2+1^2}$
$\phantom{\dfrac{z}{z'}}=\dfrac{1+\sqrt{3}+i(\sqrt{3}-1)}{4}$
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice. - En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
On peut utiliser l'écriture trigonométrique de $\dfrac{z}{z'}$ et la forme algébrique de $\dfrac{z}{z'}$.On a $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{12}}$
donc $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$
et $\dfrac{z}{z'}=\dfrac{1+\sqrt{3}+i(\sqrt{3}-1)}{4}$
Les parties réelles et imaginaires doivent être égales donc on a:
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}$ soit $cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}\times \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$
et $\dfrac{\sqrt{2}}{2}sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}$ soit $sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}\times \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$
Penser à contrôler ces résultats avec la calculatrice (réglée en radians...)
On peut aussi écrire le résultat sans racine carrée au dénominateur.
$cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
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