$f(z)=z\Longleftrightarrow\dfrac{z -1}{z+1}=z$
$\phantom{f(z)} \Longleftrightarrow z-1=(z+1)z$
$\phantom{f(z)} \Longleftrightarrow z^2=-1$
$\phantom{f(z)} \Longleftrightarrow z=i$ ou $z=-i$
Les points invariants par $f$ sont donc les points d'affixes $i$ et $-i$.

Pour tout complexe $z\neq -1$ on a:
$(z'-1)(z+1)=\left(\dfrac{z-1}{z+1}-1\right)(z+1)$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=\left(\dfrac{z-1-(z+1)}{z+1}\right)(z+1)$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=\left(\dfrac{-2}{z+1}\right)(z+1)$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=\dfrac{-2(z+1)}{z+1}$
$\phantom{(z'-1)(z+1)}=-2$
donc $(z'-1)(z+1)=-2$

$(z'-1)(z+1)=-2$ donc $|(z'-1)(z+1)|=|-2|$
$|(z'-1)(z+1)|=||z'-1||z+1|$
donc $|z'-1||z+1|=2$ soit $|z'-1|=\dfrac{2}{|z+1|}$ (rappel: $z\neq -1$ donc $|z+1|\neq 0$)
$-2=2cos(\pi)$ donc $arg(-2)=\pi$ ($2\pi$)
et $arg((z'-1)(z+1))=arg(z'-1)+arg(z'+1)$
donc $arg(z'-1)=\pi-arg(z+1)$ ($2\pi$)
On a donc $|z'-1|=\dfrac{2}{|z+1|}$ et $arg(z'-1)=\pi-arg(z+1)$ ($2\pi$)

$arg(z'-1)=\pi-arg(z+1)$ ($2\pi$) et $z'-1$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{AM'}$ et $z+1$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{BM}$
donc $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{AM'})=arg(z'-1)$ ($2\pi$) et $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{BM})=arg(z+1)$ ($2\pi$)
$(\overrightarrow{i};\overrightarrow{AM'})=\pi-(\overrightarrow{i};\overrightarrow{BM})$ ($2\pi$)
donc les droites $(AM')$ et $(BM)$ sont sécantes.

$M$ appartient au cercle de centre $B$ et rayon 2 donc $|z-z_B|=|z+1|=2$ (on a bien $M \neq B$)
donc $|z'-1|=\dfrac{2}{|z+1|}=\dfrac{2}{2}=1$
$AM'=|z'-z_A|=|=z'-1|=1$
donc $M'$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon 1.