Le but de l'exercice est de démontrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle.
On note $a$ et $b$ ces deux nombres avec $a\in \mathbb{Q}$ et $b\notin \mathbb{Q}$.
On suppose que $a+b$ est un nombre rationnel et on note alors $a+b=\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q\neq 0$ entiers .

1. En posant $a=\dfrac{p'}{q'}$, montrer que $b=\dfrac{pq'-p'q}{qq'}$.

   Aide

   $a+b=\dfrac{p}{q}$ donc $b=\dfrac{p}{q}-a$

   Solution

   On a $a+b=\dfrac{p}{q}$ et $a=\dfrac{p'}{q'}$
   donc on a:
   $b=\dfrac{p}{q}-a$
   $=\dfrac{p}{q}-\dfrac{p'}{q'}$
   $=\dfrac{pq'}{qq'}-\dfrac{p'q}{q'q}$
   $=\dfrac{pq'-p'q}{qq'}$
   donc $b=\dfrac{pq'-p'q}{qq'}$
2. En déduire que $b$ est un rationnel et conclure.

   Aide

   $pq'-p'q$ et $qq`$ sont des entiers

   Solution

   $p$, $q$, $p'$ et $q'$ sont des entiers donc $pq'-p'q$ et $qq'$ sont deux entiers
   donc $b$ est un nombre rationnel
   ce qui est contraire à l'hypothèse $b\notin \mathbb{Q}$
   donc $a+b\notin \mathbb{Q}$.