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Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes.
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- $(2x-6)(4-x)(x+2) > 0$
Signe de $ax+b$
Deux cas possibles:
Il faut construire un tableau de signes avec les trois facteurs$2x-6$ s'annule pour $x_1=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{6}{2}=3$
$4-x$ s'annule pour $x_2=\dfrac{-b}{a}=4$
$x+2$ s'annule pour $x_3=\dfrac{-b}{a}=-2$
On a donc $(2x-6)(4-x)(x+2) > 0$(zone rouge du tableau) pour $x < -2$ ou bien $3 < x <4 $ (zone verte)
sens des crochets de l'ensemble de solution - $(x^2-9)(3-2x)\leq 0$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Il faut d'abord écrire le membre de gauche avec un produit de facteurs pour pouvoir utiliser un tableau de signes en utilisant la troisième identité remarquable pour factoriser $x^2-9$$(x^2-9)(3-2x)\leq 0 \Longleftrightarrow (x^2-3^2)(3-2x)\leq 0$
$\phantom{(x^2-9)(3-2x)\leq 0} \Longleftrightarrow (x-3)(x+3)(3-2x)\leq 0$
$x-3$ s'annule pour $x_1=\dfrac{-b}{a}=3$
$x+3$ s'annule pour $x_2=\dfrac{-b}{a}=-3$
$3-2x$ s'annule pour $x_3=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{3}{2}$
On a donc $(x-3)(x+3)(3-2x)\leq 0$ (zone rouge du tableau) pour $-3 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$ ou bien $x \geq 3$ (zone verte)
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