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On veut résoudre l'inéquation $x^3-x^2-9x+9\geq 0$
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- Montrer que pour tout réel $x$, on a $x^3-x^2-9x+9=(x-1)(x^2-9)$
- Factoriser alors au maximum $x^3-x^2-9x+9$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut utiliser la troisième identité remarquable pour factoriser $x^2-9$$x^3-x^2-9x+9=(x-1)(x^2-9)$
$\phantom{x^3-x^2-9x+9}=(x-1)(x^2-3^2)$
$\phantom{x^3-x^2-9x+9}=(x-1)(x-3)(x+3)$
$\phantom{x^3-x^2-9x+9}=(x-1)(x-3)(x+3)$
- Résoudre alors l'inéquation $x^3-x^2-9x+9\geq 0$
Utiliser la forme factorisée pour dresser un tableau de signes $x^3-x^2-9x+9$$x^3-x^2-9x+9\geq 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x-3)(x+3)\geq 0$
$x-1$ s'annule pour $x_1=1$
$x-3$ s'annule pour $x_2=3$
$x+3$ s'annule pour $x=-3$
On a donc $(x-1)(x-3)(x+3)\geq 0$ (zone bleue) pour $x\in [-3;1]\cup [3;+\infty[$ (zone verte)
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