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Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la droite $d$ a pour équation réduite $y=\sqrt{2}x-3$ et on donne les points $A(3;-1)$ et $B(4;\sqrt{2})$.
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- Déterminer l'équation réduite de $(AB)$.
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$
Dans un repère du plan, si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ avec $x_A\neq x_B$, pour déterminer l'équation réduite de $(AB)$:
- Calcul du coefficient directeur
$a=\dfrac{\Delta_y}{\Delta_x}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
- Calcul de $b$
Le point $A$ appartient à la droite $(AB)$ donc ses coordonnées vérifient $y_A=ax_A+b$ (équation d'inconnue $b$)$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\sqrt{2}-(-1)}{4-3}=\sqrt{2}+1$
L'équation réduite de $(AB)$ est de la forme $y=(\sqrt{2}+1)x+b$.
$A(3;-1)$ appartient à la droite $(AB)$ donc $y_A=(\sqrt{2}+1)x_A+b$.
$-1=(\sqrt{2}+1)\times 3+b \Longleftrightarrow -1=3\sqrt{2}+3+b$
$\phantom{-1=(\sqrt{2}+1)\times 3+b} \Longleftrightarrow -1-3\sqrt{2}-3=b$
$\phantom{-1=(\sqrt{2}+1)\times 2+b} \Longleftrightarrow -3\sqrt{2}-4=b$
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $d$ et $(AB)$.
On doit résoudre le système d'équations formé avec les deux équations de droites
Par substitution, il faut remplacer $y$ par son expression en fonction de $x$ dans la seconde équation$d$ a pour équation réduite $y=\sqrt{2}x-3$.
et $(AB)$ a pour équation réduite $y=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4$
donc il faut résoudre l'équation $\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4$
$\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4 \Longleftrightarrow \sqrt{2}x-3=\sqrt{2}x+x-3\sqrt{2}-4$
$\phantom{\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4} \Longleftrightarrow \sqrt{2}x-\sqrt{2}x-x=+3-3\sqrt{2}-4$
$\phantom{\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4} \Longleftrightarrow -x=-3\sqrt{2}-1$
$\phantom{\sqrt{2}x-3=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4} \Longleftrightarrow x=3\sqrt{2}+1$
et donc $y=\sqrt{2}\times (3\sqrt{2}+1)-3=3\times 2+\sqrt{2}-3=3+\sqrt{2}$.
Contrôler rapidement avec la calculatrice en remplaçant $x$ par $3\sqrt{2}+1$ dans chacune des équations $y=\sqrt{2}x-3$ et $y=(\sqrt{2}+1)x-3\sqrt{2}-4$, on obtient bien $y_I=3+\sqrt{2}$ - Donner une valeur arrondie aux centièmes de $x_I$.
Contrôler le résultat en traçant les deux droites avec un logiciel de géométrie(geogebra).
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Équation réduite
- tracer une droite
- déterminer l'équation réduite
- déterminer l'équation réduite d'une parallèle
infos: | 20mn |
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