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La fonction $f$ est définie sur D$=\mathbb{R}\setminus \left\lbrace 1 \right\rbrace $ par $f(x)=\dfrac{x}{x-1}$
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- Justifier que $f$ est dérivable sur $D$ et calculer $f'(x)$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=x-1$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$On pose $u(x)=x$ et $v(x)=x-1$
$u$ et $v$ sont deux fonctions affines donc dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur D et $v(x)\neq 0$ donc le quotient est de $u$ par $v$ est dérivable sur D
On a $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$=\dfrac{1(x-1)-x(1)}{(x-1)^2}$
$=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
- Soit la droite (d) d'équation $y=mx+2$, $m$ réel quelconque.
Discuter, en fonction de $m$, le nombre de points de la courbe représentative de $f$ dont la tangente est parallèle à (d).Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ ($x\neq 1$) est $f'(x)$Le coefficient directeur de (d) est $m$.
Si $m=0$, la droite (d) est parallèle à l'axe des ordonnées donc il n'y a aucune tangente parallèle à (d) dans ce cas.
Le coefficient directeur de la tangente $T_{x}$ à la courbe au point d'abscisse $x$ ($x\neq 1$) est $f'(x)$
Il faut résoudre l'équation $f'(x)=m$ Recherche des racines de $f'(x)$
Pour tout réel $x\neq 1$, on a:
$f'(x)=m$
$\Longleftrightarrow \dfrac{-1}{(x-1)^2}=m$
$\Longleftrightarrow -1=m(x-1)^2$
$\Longleftrightarrow -1=m(x²-2x+1)$
$\Longleftrightarrow mx^2-2mx+m+1=0$ (équation (1))
Le nombre de solutions de cette équation du second degré dépend du signe du discriminant $\Delta$
Ici on a $a=m$, $b=-2m$ et $c=m+1$ dans $ax^2+bx+c$
$\Delta=(-2m)^2-4\times m\times (m+1)=4m^2-4m^2-4m=-4m$
$\Delta >0 \Longleftrightarrow -4m>0 \Longleftrightarrow m<0$
Cas 1: $m<0$
L'équation (1) admet deux solutions donc il existe deux tangentes parallèles à (d)
Cas 2: $m>0$
L'équation (1) n'admet aucune solution donc il n'existe pas de tangente parallèle à (d)
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Nombre dérivé et tangentes
- coefficient directeur d'une tangente et nombre dérivé
- équation réduite d'une tangente
-
tracer une tangente
infos: | 10-15mn |
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