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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos
  1. spécialité maths première
  2. chapitre 5 Trigonométrie
  3. exercice corrigé nº822

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$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $BC=1$ (hypoténuse).
  1. Calculer $\widehat{ABC}$ en radians et $AB$.

    Aide


    a somme des trois angles d'un triangle est de $\pi$ radians (soit 180 degrés) et un triangle isocèle a deux angles de même mesure

    Solution

    $ABC$ est isocèle rectangle en $A$
    donc $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$
    et $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
    $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=\pi$ (somme des trois angles d'un triangle)
    et comme $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
    $\widehat{ABC}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=\pi$
    donc $2\widehat{ABC}+\dfrac{\pi}{2}=\pi$
    soit $2\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}$
  2. Montrer que $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

    Rappel de cours

    Théorème de Pythagore

    Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB^2+AC^2=BC^2$

    Aide

    On a $BC^2=1$ et $AB=AC$

    Solution

    $ABC$ est un triangle rectangle en $A$
    $AB^2+AC^2=BC^2 \Longleftrightarrow 2AB^2=1$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB^2=\dfrac{1}{2}$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}$ (on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}$)
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  3. En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

    Rappel de cours

    Trigonométrie dans le triangle rectangle

    $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

    $cos(\widehat{ACB})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
    $sin(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
    $tan(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

    Aide

    $cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$

    Solution

    $cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
    soit $cos(\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


    $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
    or $AC=AB$
    donc $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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nº833 cos et sin de $\dfrac{\pi}{4}$ et angles associés
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