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$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $BC=1$ (hypoténuse).
  1. Calculer $\widehat{ABC}$ en radians et $AB$.

    a somme des trois angles d'un triangle est de $\pi$ radians (soit 180 degrés) et un triangle isocèle a deux angles de même mesure
    $ABC$ est isocèle rectangle en $A$
    donc $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{2}$
    et $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
    $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=\pi$ (somme des trois angles d'un triangle)
    et comme $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.
    $\widehat{ABC}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=\pi$
    donc $2\widehat{ABC}+\dfrac{\pi}{2}=\pi$
    soit $2\widehat{ABC}=\dfrac{\pi}{2}$
  2. Montrer que $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

    Théorème de Pythagore


    Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $AB^2+AC^2=BC^2$
    On a $BC^2=1$ et $AB=AC$
    $ABC$ est un triangle rectangle en $A$
    $AB^2+AC^2=BC^2 \Longleftrightarrow 2AB^2=1$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB^2=\dfrac{1}{2}$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}$ (on multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}$)
    $\phantom{AB^2+AC^2=BC^2} \Longleftrightarrow AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
  3. En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

    Trigonométrie dans le triangle rectangle


    $ABC$ est un triangle rectangle en $A$.

    $cos(\widehat{ACB})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
    $sin(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
    $tan(\widehat{ACB})=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
    $cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}$
    $cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
    soit $cos(\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


    $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
    or $AC=AB$
    donc $sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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