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  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 8 Géométrie dans l'espace
  3. exercice corrigé nº1343

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$ABCDEFGH$ est un cube de côté $a$.

  1. Calculer $\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{EG}$.

    Rappel de cours

    relation de Chasles

    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

    Orthogonalité et produit scalaire

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    $\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD}$ et $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}$

    Solution

    $\overrightarrow{EG}.\overrightarrow{FD}$
    $=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}).(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD})$
    $=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}).(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD})$
    $=\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{HD}$
    $=-\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{GC}$
    $E$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(FE)$ donc $\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}=FE^2=a^2$
    $(FE)$ et $(EA)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}=0$
    $G$ est le projeté orthogonal de $H$ sur $(FG)$ donc $\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{FH}=FG^2=a^2$
    $(FG)$ et $(GC)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{FG}.\overrightarrow{GC}=0$
    donc $\overrightarrow{EG}.\overrightarrow{FD}=-a^2+0+a^2+0=0$
  2. Calculer $\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}$.

    Aide

    $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FD}$

    Solution

    $\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}$
    $=(\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FB}).(\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD})$
    $=\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FH} +\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{HD}$
    $=-\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FH} +\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FB}$
    $\overrightarrow{FE}.\overrightarrow{FH}=a^2$ (voir question 1)
    $(EF)$ et $EA)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{EA}=0$
    $(FB)$ et $(FH)$ sont perpendiculaires donc $\overrightarrow{FB}.\overrightarrow{FH}=0$
    $\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}=-a^2+0+0+a^2=0$
  3. En déduire que le plan $(EBG)$ est perpendiculaire à la droite $(FD)$.

    Rappel de cours

    droite et plan orthogonaux

    Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.

    Aide

    Il faut justifier que $(FD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(EBG)$

    Solution

    $\overrightarrow{FD}.\overrightarrow{EG}=0$ donc $(FD)$ et $(EG)$ sont orthogonales
    $\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}=0$ donc $(EB)$ et $(FD)$ sont orthogonales
    donc $(FD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(EBG)$

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