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$ABCDEFGH$ est un cube.
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- Montrer que la droite $(AC)$ est orthogonale au plan $(BD)$.
droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
On peut utiliser le carré $ABCD$$ABCD$ est un carré donc les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires - Calculer $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BF}$
Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.On a $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BF}$
$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).\overrightarrow{BF}$
$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BF}$
$=0+0$ car $(AB)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires et $(BC)$ et $(BF)$ sont perpendiculaires
- En déduire que la droite $(AC)$ est orthogonale aun plan $(HDB)$.
droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
Les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont orthogonales
et $(AC)$ et $(BF)$ sont orthogonales
donc $(AC)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(HDB)$
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