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Home Option maths expertes chapitre 3 PGCD, théorèmes de Bezout et de Gauss, nombres premiers séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Devoirs nombres premiers (réf 1601)

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Décomposition en facteurs premiers

Calculs avec les décompositions en facteurs premiers

Nombre de diviseurs d’un entier

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Devoir PGCD, Bezout et Gauss (ex ancien BAC ) (réf 1600)
devoir

Devoir d'entraînement | temps recommandé 20mn ou plus | Niveau 1 application directe du cours | exercices complémentaires et devoirs d’entraînement |
Exercice 1 (2 points)
Déterminer si les nombres suivants sont premiers en justifiant la réponse
$277~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~903$
Aide

Le test d'arrêt est $\sqrt{n}$

Solution

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Exercice 2 (6 points)
  1. Déterminer la décomposition en facteurs premiers de $2100$ et de $2250$
    Solution

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  2. Déterminer le nombre de diviseurs de $2100$
    Rappel cours

    Nombre de diviseurs
    Soit $n\geq 2$ dont la décomposition en facteur premiers est $n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times ...\times p_k^{\alpha_k}$ avec $p_1$, $p_2$,...$p_k$ premiers
    alors le nombre de diviseurs de $n$ est $(\alpha1+1)(\alpha_2+1)....(\alpha_k+1)$}

    Solution

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  3. Déterminer $PGCD(2100;2250)$
    Aide

    On peut utiliser les décompositions en facteurs premiers

    Solution

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  4. Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $n^2$ soit un multiple de $2100$.
    Aide

    Il faut muliplier par les facteurs premiers permettant d'obtenir un produit avec des exposants pairs

    Solution

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  5. Écrire $\sqrt{2100}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier naturel le plus petit possible en détaillant les calculs effectués.
    Aide

    $\sqrt{a^{2k}}=a^k$ avec $a$ et $k$ entiers naturels

    Solution

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Exercice 3 (2 points)
Un entier naturel $n$ admet 7 diviseurs, montrer alors que $n=p^6$ avec $p$ premier.
Aide

Le nombre de diviseurs est donné par le produit des exposants+1 de la décomposition en facteurs premiers

Solution

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