Devoir suites et limites (réf 0968) chapitre 1 suites et limites de suites, séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement, TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS

Démontrer par récurrence que la suite est minorée par $\dfrac{3}{2}$.
Rappel cours

Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Aide

La propriété à démontrer est $U_n > \dfrac{2}{3}$
Vérifier que la propriété est vraie pour $U_0$ (initialisation)
On suppose qu'il existe un entier natuel $k$ tel que $U_k > \dfrac{2}{3}$ et on veut montrer que $U_{k+1} > \dfrac{2}{3}$

Solution

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Déterminer le sens de variation de $(U_n)$

Rappel cours

Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.

Aide

On étudie le signe $U_{n+1}-U_n$ sachant que $U_n > \dfrac{2}{3}$

Solution

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En déduire que la suite $(U_n)$ converge

Rappel cours

Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente

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Exercice 2 (6 points)

Déterminer la limite des suites ci-dessous en rédigeant soigneusement la justification.

$u_n=2\times 17^n+6\times(-0,5)^n$ avec $n\in \mathbb{N}$

Rappel cours

Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$

Aide

Chercher les limites des suites géométriques de raison $17$ et de raison $-0,5$

Solution

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$v_n=\dfrac{3n^2+4n-1}{-2n^2+3n+1}$ avec $n\in \mathbb{N}$

Rappel cours

Formes indéterminées
Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
$\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$

Aide

Il s'agit d'une forme indéterminée donc il faut factoriser $n^2$ au numérateur et au dénominateur

Solution

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$u_n=\dfrac{cos(n^2)}{n^2}$ avec $n\in \mathbb{N}^*$

Rappel cours

Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.

Aide

On peut encadrer $u_n$ sachant que $-1\leq cos(x)\leq 1$

Solution

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Exercice 3 (4 points)

Soit $V_n=\dfrac{(-1)^n+cos(n)}{n}$ pour tout entier $n$ non nul.

Démontrer que l'on peut encadrer $V_n$ à l'aide d'expressions de la forme $\dfrac{a}{n}$ où $a$ est un réel fixé que vous expliciterez (C'est à dire une inégalité du type $\dfrac{a}{n} \geq V_n \geq \dfrac{a'}{n}$)

Aide

On a $cos(n)$ compris entre $-1$ et $1$

Solution

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en utilisant l'expression précédente déterminer la limite de $V_n$

Rappel cours

Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.

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Exercice 4 (4 points)

Soit $t_n=\sqrt{n^2+1}$ définie pour tout entier naturel $n$.

Déterminer le signe de $t_n-n$

Aide

On peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{n^2+1}-n$ soit $\sqrt{n^2+1}+n$ pour utiliser la troisième identité remarquable

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En déduire la limite de $t_n$

Aide

On a $t_n-n > 0$ donc $t_n > n$

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